Domande sullo studio di convergenza delle serie
Ciao,
stavo svolgendo alcuni esercizi e mi sono sorte alcune domande:
Prendiamo ad esempio: Dire se la serie $sum_(k=1)^\infty (k+3)/(2k^3+5)*(x-2)^k$ converge:
Allora, posso dire che è una serie di potenze centrata in $x_0=2$.
Condizione necessaria (ma non sufficiente) perchè una serie converga è:
data una serie $sum_(n=1)^infty a_k\inRR$, allora, $lim_(n\to\infty) a_k \to 0$.
Nel mio caso, $a_k=(k+3)/(2k^3+5)$ oppure $a_k=(k+3)/(2k^3+5)*(x-2)^k$ ?
Se considero $a_k=(k+3)/(2k^3+5)$ e uso il metodo della radice ennesima:
$lim_(n\to\infty)root(n)((k+3)/(2k^3+5))=1 = L$ da cui ottengo il raggio di convergenza $r=1/L =1/1 = 1$ e dato che la serie è centrata in $x_0=2$ avro' che la serie converge in $(X_0-r, x_0+r)$, ovvero in $(1,3)$.
Ora controllo quello che succede negli estremi:
quando $x=1$ ho che $sum_(k=1)^\infty (k+3)/(2k^3+5)*(x-2)^k=sum_(k=1)^\infty (k+3)/(2k^3+5)*(1-2)^k=sum_(k=1)^\infty (k+3)/(2k^3+5)*(-1)^k$. Questa è una serie a segni alterni e uso il criterio di leibnitz:
Devo prima assicurarmi che $a_n>0$ e poi che la successione $a_n$ è decrescente.
Siccome il mio $a_k=(k+3)/(2k^3+5) =>a_n>0 AAk>=0$ e dato che la mia serie parte da $1$, sono a cavallo!
Ora, per vedere se è decrescente controllo che $a_k>=a_k+1 => (k+3)/(2k^3+5) >=^? ((k+1)+3)/(2(k+1)^3+5)$. Forse non sono abbastanza furbo per accorgermi di qualche trucco per trasformare questa disequazione in qualcosa di ultra facile e quindi penso o di derivare $ (k+3)/(2k^3+5)$ e vedere il segno della derivata o di fare $|(k+3)/(2k^3+5) : ((k+1)+3)/(2(k+1)^3+5)|$ e vedere se è maggiore, minore o uguale a $1$.
Opto per la derivata: $d/dx (k+3)/(2k^3+5) = (-4x^3-18x^2+5)/(2x^3+5)^2 ~ (-4x^3)/(2x^6)$, il numeratore è negativo e denominatore positivo, quindi ha segno negativo e quindi la mia successione è decrescente. Quindi posso usare il criterio di L. e dico: se il mio termine $a_k\to0, per k->\infty$ allora la serie converge: $lim_(k\to\infty)(k+3)/(2k^3+5) ~ lim_(k\to\infty)k/(2k^3) =0$ ma allora la mia serie in $x_0=1$ Converge.
Domanda extra: Se nel crit di L. avessi che il mio termine generale è $1/n$, questa non convergerebbe perchè la serie armonica non converge, giusto?
Per quello che riguarda il punto $x_0=3$:
$ sum_(k=1)^\infty (k+3)/(2k^3+5)*(x-2)^k= sum_(k=1)^\infty (k+3)/(2k^3+5)*(3-2)^k= sum_(k=1)^\infty (k+3)/(2k^3+5)*(1)^k=sum_(k=1)^\infty (k+3)/(2k^3+5)$.
Ora posso fare così??: Studio il termine generale: $lim_(k\to\infty) (k+3)/(2k^3+5)~lim_(k\to\infty)k/(2k^3)<1/k^2$ che so convergere, quinid anche la mia $k/(2k^3)$ converge.
Pero', se avessi considerato: $a_k=(k+3)/(2k^3+5)*(x-2)^k$, avrei usato il criterio della radice:
$lim_(k\to\infty)root(n)((k+3)/(2k^3+5)*(x-2)^k) = x-2$, indipendetemente da $k$, allora pongo: $|x-2|<1$ da cui mi ricavo $x>1, x<3$
si puo 'fare? che differenza c'è tra i due procedimenti? ma forse, dopo tutto, ho solo sparato un mucchio di ca77...
stavo svolgendo alcuni esercizi e mi sono sorte alcune domande:
Prendiamo ad esempio: Dire se la serie $sum_(k=1)^\infty (k+3)/(2k^3+5)*(x-2)^k$ converge:
Allora, posso dire che è una serie di potenze centrata in $x_0=2$.
Condizione necessaria (ma non sufficiente) perchè una serie converga è:
data una serie $sum_(n=1)^infty a_k\inRR$, allora, $lim_(n\to\infty) a_k \to 0$.
Nel mio caso, $a_k=(k+3)/(2k^3+5)$ oppure $a_k=(k+3)/(2k^3+5)*(x-2)^k$ ?
Se considero $a_k=(k+3)/(2k^3+5)$ e uso il metodo della radice ennesima:
$lim_(n\to\infty)root(n)((k+3)/(2k^3+5))=1 = L$ da cui ottengo il raggio di convergenza $r=1/L =1/1 = 1$ e dato che la serie è centrata in $x_0=2$ avro' che la serie converge in $(X_0-r, x_0+r)$, ovvero in $(1,3)$.
Ora controllo quello che succede negli estremi:
quando $x=1$ ho che $sum_(k=1)^\infty (k+3)/(2k^3+5)*(x-2)^k=sum_(k=1)^\infty (k+3)/(2k^3+5)*(1-2)^k=sum_(k=1)^\infty (k+3)/(2k^3+5)*(-1)^k$. Questa è una serie a segni alterni e uso il criterio di leibnitz:
Devo prima assicurarmi che $a_n>0$ e poi che la successione $a_n$ è decrescente.
Siccome il mio $a_k=(k+3)/(2k^3+5) =>a_n>0 AAk>=0$ e dato che la mia serie parte da $1$, sono a cavallo!
Ora, per vedere se è decrescente controllo che $a_k>=a_k+1 => (k+3)/(2k^3+5) >=^? ((k+1)+3)/(2(k+1)^3+5)$. Forse non sono abbastanza furbo per accorgermi di qualche trucco per trasformare questa disequazione in qualcosa di ultra facile e quindi penso o di derivare $ (k+3)/(2k^3+5)$ e vedere il segno della derivata o di fare $|(k+3)/(2k^3+5) : ((k+1)+3)/(2(k+1)^3+5)|$ e vedere se è maggiore, minore o uguale a $1$.
Opto per la derivata: $d/dx (k+3)/(2k^3+5) = (-4x^3-18x^2+5)/(2x^3+5)^2 ~ (-4x^3)/(2x^6)$, il numeratore è negativo e denominatore positivo, quindi ha segno negativo e quindi la mia successione è decrescente. Quindi posso usare il criterio di L. e dico: se il mio termine $a_k\to0, per k->\infty$ allora la serie converge: $lim_(k\to\infty)(k+3)/(2k^3+5) ~ lim_(k\to\infty)k/(2k^3) =0$ ma allora la mia serie in $x_0=1$ Converge.
Domanda extra: Se nel crit di L. avessi che il mio termine generale è $1/n$, questa non convergerebbe perchè la serie armonica non converge, giusto?
Per quello che riguarda il punto $x_0=3$:
$ sum_(k=1)^\infty (k+3)/(2k^3+5)*(x-2)^k= sum_(k=1)^\infty (k+3)/(2k^3+5)*(3-2)^k= sum_(k=1)^\infty (k+3)/(2k^3+5)*(1)^k=sum_(k=1)^\infty (k+3)/(2k^3+5)$.
Ora posso fare così??: Studio il termine generale: $lim_(k\to\infty) (k+3)/(2k^3+5)~lim_(k\to\infty)k/(2k^3)<1/k^2$ che so convergere, quinid anche la mia $k/(2k^3)$ converge.
Pero', se avessi considerato: $a_k=(k+3)/(2k^3+5)*(x-2)^k$, avrei usato il criterio della radice:
$lim_(k\to\infty)root(n)((k+3)/(2k^3+5)*(x-2)^k) = x-2$, indipendetemente da $k$, allora pongo: $|x-2|<1$ da cui mi ricavo $x>1, x<3$
si puo 'fare? che differenza c'è tra i due procedimenti? ma forse, dopo tutto, ho solo sparato un mucchio di ca77...
Risposte
Il procedimento è corretto.
Dalle proprietà del raggio di convergenza ottieni che la serie converge assolutamente in $(1,3)$ (e uniformemente in ogni compatto contenuto in questo intervallo), e diverge fuori. Usando il criterio della radice ottieni che la serie converge assolutamente in $(1,3)$ e diverge fuori. Come vedi, il risultato è lo stesso e i punti di frontiera devi studiarli comunque separatamente. E questo non è un caso, perché il raggio di convergenza lo esprimi in quel modo proprio grazie al criterio della radice.
Puoi esprimerlo anche come $\frac{1}{\lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n}}$, quando il limite a denominatore esiste.
Per ciò che concerne la serie armonica, $\sum_n 1/n$ diverge, ma $\sum_n (-1)^n/n$ converge (se non sbaglio a $\ln 2$). Prova ad applicare il criterio di Leibniz.
In effetti, la convergenza assoluta implica la convergenza, ma non vale il viceversa. Perciò la divergenza della serie armonica non ti dà informazioni sul carattere della seconda serie.
Dalle proprietà del raggio di convergenza ottieni che la serie converge assolutamente in $(1,3)$ (e uniformemente in ogni compatto contenuto in questo intervallo), e diverge fuori. Usando il criterio della radice ottieni che la serie converge assolutamente in $(1,3)$ e diverge fuori. Come vedi, il risultato è lo stesso e i punti di frontiera devi studiarli comunque separatamente. E questo non è un caso, perché il raggio di convergenza lo esprimi in quel modo proprio grazie al criterio della radice.
Puoi esprimerlo anche come $\frac{1}{\lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n}}$, quando il limite a denominatore esiste.
Per ciò che concerne la serie armonica, $\sum_n 1/n$ diverge, ma $\sum_n (-1)^n/n$ converge (se non sbaglio a $\ln 2$). Prova ad applicare il criterio di Leibniz.
In effetti, la convergenza assoluta implica la convergenza, ma non vale il viceversa. Perciò la divergenza della serie armonica non ti dà informazioni sul carattere della seconda serie.
Grazie della rispsota, ho un dubbio:
Una serie a termini alternati, se rispetta le condizioni di Leibnitz: non crescente e positiva, non importa quanto lentamente va a zero, comunque converge:
$1/n^2, 1/n, 1/lnn$ eccetera? pero' presa a segno positivo $1/n, 1/lnn$ non converge... è questo che mi confonde un po'.
"Antimius":
Per ciò che concerne la serie armonica, $\sum_n 1/n$ diverge, ma $\sum_n (-1)^n/n$ converge (se non sbaglio a $\ln 2$).
Una serie a termini alternati, se rispetta le condizioni di Leibnitz: non crescente e positiva, non importa quanto lentamente va a zero, comunque converge:
$1/n^2, 1/n, 1/lnn$ eccetera? pero' presa a segno positivo $1/n, 1/lnn$ non converge... è questo che mi confonde un po'.
Sei d'accordo sul fatto che una serie può convergere, nonostante non converga assolutamente? Se hai capito questo, non capisco qual è la tua perplessità.
Prova a pensarla così (detta molto alla buona): se prendi la serie dei moduli aggiungi sempre qualcosa, quindi se la convergenza a $0$ della successione è troppo lenta, la serie diverge; ciononostante, se prendi la serie a segni alterni, a un passo aggiungi qualcosa e a un passo togli qualcosa e quindi "rallenti" la serie e, in alcuni casi (come quelli che citi), la rallenti a sufficienza da farla convergere.
Prova a pensarla così (detta molto alla buona): se prendi la serie dei moduli aggiungi sempre qualcosa, quindi se la convergenza a $0$ della successione è troppo lenta, la serie diverge; ciononostante, se prendi la serie a segni alterni, a un passo aggiungi qualcosa e a un passo togli qualcosa e quindi "rallenti" la serie e, in alcuni casi (come quelli che citi), la rallenti a sufficienza da farla convergere.
Piu' semplice di così.... 
Grazie mille, ho capito! in effetti bastava pochissimo per capirlo
Grazie mille, ho capito! in effetti bastava pochissimo per capirlo
Prego 
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