Domande sulla finitezza e sommabilità di integrali

[andriy84-votailprof]

Salve a tutti, ho le seguenti domande da farvi:

1)Dato un integrale (definito, generalizzato o improprio, a proposito: che differenza c'è tra generalizzato e improprio?) voglio vedere se esso è finito. Come posso fare ciò?

2)Conosco un teorema che dice che se l'integrale di una funzione è finito allora la funzione è sommabile. Tale condizione è sufficiente, ma è anche necessaria? cioè vale il viceversa (sommabilità->finitezza)?

3)Infine, come verifico la sommabilità di una funzione?

So che sono un pò troppe le domande e tutte teoriche ma il mio intento è di cercare di approcciare lo studio di un integrale nel modo più generale possibile, sperando di sviluppare in seguito una tecnica quasi "algoritmica" per la loro risoluzione. Sto studiando analisi 1 e sono fermo agli integrali proprio perchè il mio Prof. vuole che sia verificato se l'integrale dato sia finito o meno, prima di calcolarlo. Come posso fare?

Grazie a tutti in anticipo.

Andrea Russo

[gugo82]

"andriy84":2)Conosco un teorema che dice che se l'integrale di una funzione è finito allora la funzione è sommabile.

In realtà vale l'esatto contrario, ossia se una funzione è sommabile allora l'integrale (improprio o "proprio") esiste finito.

Che non valga l'implicazione \(f \text{ integrabile} \quad \Rightarrow \quad f \text{ sommabile}\) si vede esibendo un controesempio: classico è quello della funzione $(sin x)/x$ che, pur essendo integrabile su $[0,+oo[$, non è ivi sommabile (in altre parole l'integrale improprio $\int_0^(+oo) (sin x)/x" d"x$ esiste finito però si ha $\int_0^(+oo)|sin x|/x" d"x=+oo$, cosicchè la funzione non è sommabile in $[0,+oo[$).

[andriy84-votailprof]

Intato grazie per la risposta. Ho fatto molta confusione, cercherò di approfondire meglio.
Rimangono però le mie perplessità sulle domande 1) e 2) che ho posto prima. Nella tua spiegazione inoltre, bisogna quanto meno capire quando una funzione:

a)è integrabile
b)è sommabile
c)ha integrale finito

I tre punti sopra, rientrano nelle domande a cui sto cercando una risposta... Non so quando e come fare per arrivare ad a), b), c).

Grazie per la pazienza.

Andrea

[ludwigZero]

"gugo82":[quote="andriy84"]2)Conosco un teorema che dice che se l'integrale di una funzione è finito allora la funzione è sommabile.

In realtà vale l'esatto contrario, ossia se una funzione è sommabile allora l'integrale (improprio o "proprio") esiste finito.

Che non valga l'implicazione $f " integrabile" \quad => \quad f " sommabile"$ si vede esibendo un controesempio: classico è quello della funzione $(sin x)/x$ che, pur essendo integrabile su $[0,+oo[$, non è ivi sommabile (in altre parole l'integrale improprio $\int_0^(+oo) (sin x)/x" d"x$ esiste finito però si ha $\int_0^(+oo)|sin x|/x" d"x=+oo$, cosicchè la funzione non è sommabile in $[0,+oo[$).[/quote]


domanda sciocca: fare quell'integrale improprio e dire che è finito, basta che lo spezzi in tanti strati d'integrale:

$\int .... dx + \int .... dx$ su intervalli del tipo $[0,\pi] + [\pi, 2 \pi]$ ...... fino ad arrivare a un $[M,+oo[$ ?

perchè hai poi preso nel secondo integrale il valore assoluto di $sin x$?