Domande sulla differenziabilità di equazioni di 2 incognite
Ci sono due formule riguardo la differenziabilità che proprio non capisco.
La prima è la formula del piano tangente alla superficie $z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$. Non mi ricordo molto bene l'algebra lineare e proprio non riesco a ricondurre questa formula all'equazione cartesiana del piano.
Il secondo dubbio riguarda il passaggio dalla definizione di differenziabilità all'implicazione di continuità. Sul libro mi viene scritto solamente che dalla formula $lim_(\rho->0)(f(x_0+\rhocos\theta, y_0+\rhosin\theta)-f(x_0,y_0)-\rho\nablaf(x_0,y_0)*v_\theta)/\rho$ "si ricava" $lim_(\rho->0)f(x_0+\rhocos\theta, y_0+\rhosin\theta)=f(x_0,y_0)$ ma io proprio non ho capito come lo si ricava...
La prima è la formula del piano tangente alla superficie $z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$. Non mi ricordo molto bene l'algebra lineare e proprio non riesco a ricondurre questa formula all'equazione cartesiana del piano.
Il secondo dubbio riguarda il passaggio dalla definizione di differenziabilità all'implicazione di continuità. Sul libro mi viene scritto solamente che dalla formula $lim_(\rho->0)(f(x_0+\rhocos\theta, y_0+\rhosin\theta)-f(x_0,y_0)-\rho\nablaf(x_0,y_0)*v_\theta)/\rho$ "si ricava" $lim_(\rho->0)f(x_0+\rhocos\theta, y_0+\rhosin\theta)=f(x_0,y_0)$ ma io proprio non ho capito come lo si ricava...
Risposte
Per quanto riguarda il punto 2 intuitivamente capisco che se $\rho->0$ e il limite della funzione tende a 0 allora deve tendere a zero anche il numeratore e quindi $lim_(\rho->0)f(x_0+\rhocos\theta,y_0+\rhosin\theta)-f(x_0,y_0)-\rho\nablaf(x_0,y_0)*v_\theta=0$ implica $lim_(\rho->0)f(x_0+\rhocos\theta,y_0+\rhosin\theta)=f(x_0,y_0)$ siccome $\rho\nablaf(x_0,y_0)*v_\theta$ tende a zero. Ma esiste una dimostrazione formale di questo?
Come ragioni nel caso di una sola variabile?
Lo stesso si fa in questo caso qui.
Inoltre, com'è l'equazione di un piano non parallelo all'asse $z$?
P.S.: Sono le funzioni che si differenziano, non le equazioni.
Lo stesso si fa in questo caso qui.
Inoltre, com'è l'equazione di un piano non parallelo all'asse $z$?
P.S.: Sono le funzioni che si differenziano, non le equazioni.
E fammi aggiungere un'altra sgridata ( 
) ; qua stiamo parlando di "funzioni" e non di "equazioni", e quindi quelle sono "variabili" e non incognite.
) ; qua stiamo parlando di "funzioni" e non di "equazioni", e quindi quelle sono "variabili" e non incognite.
Scusa ma per una sola variabili il ragionamento mi sembra molto più straight forward siccome si ha che l'unica derivata è $m$ e basta trovare $q$ imponendo il passaggio per il punto di tangenza.
Ma con il piano proprio non riesco a ricondurre quell'equazione alla generica equazione cartesiana di un piano $ax+by+cz+d=0$
Ma con il piano proprio non riesco a ricondurre quell'equazione alla generica equazione cartesiana di un piano $ax+by+cz+d=0$
Dall'equazione del piano che hai scritto non riesci ad isolare $z$ (ed eventualmente rinominare i coefficienti)?
Sono gli stessi passaggi che portano dall'equazione della retta su un piano in forma implicita
$ax+by+c=0$
a quella esplicita
$y = mx+q$
Sono gli stessi passaggi che portano dall'equazione della retta su un piano in forma implicita
$ax+by+c=0$
a quella esplicita
$y = mx+q$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo