Domande sui numeri complessi
Salve a tutti.
Sto affrontando lo studio dei numeri complessi e svolgendo degli esercizi ho notato che si sottolinea il fatto che $|z|^5 = z^4 bar(z) $. Non capisco perchè esista questa uguaglianza.
In un altro esercizio, ovvero: $bar(z) ^3 z^4=-2z^2$, dopo essere arrivata a $z^2(bar(z) ^3z^2+2)=0$ e aver scritto $bar(z)^2 z^2$ come $|z|^4$, pensavo di continuare sostituendo z con $x+iy$, ma la soluzione mi propone un ulteriore passaggio considerando che $|z|^5$ è uguale a 2. Non capisco se mi sfugge una regola che credo sia anche piuttosto importante a questo punto.
Voi cosa ne dite?
Grazie in anticipo
Sto affrontando lo studio dei numeri complessi e svolgendo degli esercizi ho notato che si sottolinea il fatto che $|z|^5 = z^4 bar(z) $. Non capisco perchè esista questa uguaglianza.
In un altro esercizio, ovvero: $bar(z) ^3 z^4=-2z^2$, dopo essere arrivata a $z^2(bar(z) ^3z^2+2)=0$ e aver scritto $bar(z)^2 z^2$ come $|z|^4$, pensavo di continuare sostituendo z con $x+iy$, ma la soluzione mi propone un ulteriore passaggio considerando che $|z|^5$ è uguale a 2. Non capisco se mi sfugge una regola che credo sia anche piuttosto importante a questo punto.
Voi cosa ne dite?
Grazie in anticipo
Risposte
up
fammi capire,il testo dice che
$z^4cdotbar(z)=|z|^5$?
$z^4cdotbar(z)=|z|^5$?
Sì, esattamente
Se il testo pretende che sia un'identità direi che non ci sono molte alternative: un errore di stampa oppure un abbaglio dell'autore.
Basta un esempio a dimostrare che in generale è falsa: per $z=i" "$, hai:
$i^4*(-i)=-i" "$, mentre ovviamente: $|i|^5=1$.
Quindi almeno in un caso non è vera.
Rimane la possibilità che si riferissa ad un caso particolare, ad esempio quello in cui $z$ fosse un numero reale. Puoi postare il testo originale dell'esercizio?
Basta un esempio a dimostrare che in generale è falsa: per $z=i" "$, hai:
$i^4*(-i)=-i" "$, mentre ovviamente: $|i|^5=1$.
Quindi almeno in un caso non è vera.
Rimane la possibilità che si riferissa ad un caso particolare, ad esempio quello in cui $z$ fosse un numero reale. Puoi postare il testo originale dell'esercizio?
In effetti facendo delle prove non viene assolutamente questa uguaglianza. Comunque ecco l'esercizio:
$ sqrt(2) z^4bar(z) +i|z|^5=1 $
$ sqrt(2) z^4bar(z) +i|z|^5=1 $
Io proverei a fare così.
$ sqrt(2) z^4bar(z) +i|z|^5=1" "to" " sqrt(2) *z^3*|z|^2 +i|z|^5=1 $; mettendo in forma esponenziale $z=rho*e^(i phi)$ hai:
(1) $rho^5*(e^(3iphi)*sqrt(2)+i)=1" "$, dalla quale si evince che $sqrt(2)e^(3iphi)$ deve avere parte immaginaria pari a $-i$ (in modo che anche la parentesi sia reale, come tutti gli altri termini dell'equazione).
Il che corrisponde a: $sqrt(2)*sin(3phi)=-1$, uguaglianza da cui ricavi tutti i valori possibili di $phi$, verificando tra l'altro che siano compatibili col segno che deve avere la parte reale della suddetta parentesi.
Fatto questo, sostituisci nella (1) e trovi anche $rho$. Salvo ovviamente miei errori.
Mi rimane da capire il senso e la collocazione dell'affermazione del testo con cui hai aperto il topic.
$ sqrt(2) z^4bar(z) +i|z|^5=1" "to" " sqrt(2) *z^3*|z|^2 +i|z|^5=1 $; mettendo in forma esponenziale $z=rho*e^(i phi)$ hai:
(1) $rho^5*(e^(3iphi)*sqrt(2)+i)=1" "$, dalla quale si evince che $sqrt(2)e^(3iphi)$ deve avere parte immaginaria pari a $-i$ (in modo che anche la parentesi sia reale, come tutti gli altri termini dell'equazione).
Il che corrisponde a: $sqrt(2)*sin(3phi)=-1$, uguaglianza da cui ricavi tutti i valori possibili di $phi$, verificando tra l'altro che siano compatibili col segno che deve avere la parte reale della suddetta parentesi.
Fatto questo, sostituisci nella (1) e trovi anche $rho$. Salvo ovviamente miei errori.
Mi rimane da capire il senso e la collocazione dell'affermazione del testo con cui hai aperto il topic.
Va bene, allora provo a risolverlo in questo modo. Grazie!
Il mio dubbio era se questa uguaglianza $ bar(z) z^4=|z|^5 $ derivasse da una regola dei numeri complessi che mi è sfuggita o non ho compreso pienamente in quanto oltre a questo esercizio, ho trovato la stessa procedura in un altro scritto nel primo post. Forse sono entrambi sbagliati ma non ne sono certa.
Il mio dubbio era se questa uguaglianza $ bar(z) z^4=|z|^5 $ derivasse da una regola dei numeri complessi che mi è sfuggita o non ho compreso pienamente in quanto oltre a questo esercizio, ho trovato la stessa procedura in un altro scritto nel primo post. Forse sono entrambi sbagliati ma non ne sono certa.
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