Domande sui differenziali esatti

[Simonebarr93]

Ciao a tutti sto cercando di capire i differenziali esatti per termodinamica ma ho parecchi dubbi.
Innanzitutto il libro mi dice che affinché una forma differenziale sia esatta deve essere esistere una funzione f tale che A(x,y)dx+B(x,y)dy=de(f)/de(x) dx+de(f)/de(y) dy==df
Dunque deduco che ogni funzione per cui si può scrivere df ammetta un differenziale esatto.

df posso scriverlo se f è derivabile perché esistono sempre le derivate parziali.

Invece un'altra cosa sono le funzioni differenziabili cioè quelle per cui, considerando X=(x,y) vettore di coordinate si ha f(X+h)-f(X)=df+o|h|.
Cioè una funzione differenziabile ammette un differenziale esatto ed inoltre tale differenziale approssima bene la funzione.

Si vede che se una funzione non è differenziabile df~=delta(f)+o|h| quindi intuitivamente df non rappresenta un incremento di f. Perciò fare integrale(df) da f1 a f2 non ha molto senso!
Però il libro mi dice che l'integrale di una funzione che ammette diff esatto non dipende dal percorso. Come mai? Sarei d'accordo se mi dicesse l'integrale di una funzione differenziabile non dipende dal percorso.

Ho pensato che forse è perché una funzione derivabile in ogni punto è anche differenziabile. Puntualmente non è certo vero, ma non riesco a immagine una funzione derivabile in ogni punto che non sia liscia.

Potete darmi qualche delucidazione? Magari con esempi più grafici che algebrici perché faccio fatica a immaginare il tutto. Sul mio libro non ci sono immagini.

[phaerrax]

Come hai detto tu, la forma differenziale (che chiamerò $\omega$) è esatta se si può scrivere come differeniziale di una funzione $f$.
Questa $f$, il potenziale di $\omega$, però, deve essere almeno differenziabile (occhio alla distinzione derivabile $\ne$ differenziabile) , altrimenti come puoi definirne il differenziale?

Però il libro mi dice che l'integrale di una funzione che ammette diff esatto non dipende dal percorso. Come mai?

Qui il libro è parecchio impreciso (oppure hai capito male): la vera storia è che l'integrale di una forma differenziale esatta (non di una funzione differenziabile) tra due punti non dipende dal cammino tra di essi, ma solo appunto dagli estremi.
Una forma differenziale $\omega$ è esatta quando (proprio come il differenziale esatto: sono la stessa cosa) esiste una funzione $f$ differenziabile tale che \(\mathrm{d}f=\omega\), quindi lungo un cammino $\gamma:\ [a,b]\to\mathbb R^n$
\[
\int_\gamma\omega=\int_\gamma\mathrm{d}f=f\big(\gamma(b)\big)-f\big(\gamma(a)\big).
\]
L'integrale del tuo differenziale/forma differenziale lo puoi sempre calcolare; in generale non potrai però sfruttare l'importante proprietà qui sopra, a meno che la forma non sia esatta.

df posso scriverlo se f è derivabile perché esistono sempre le derivate parziali.
...
Ho pensato che forse è perché una funzione derivabile in ogni punto è anche differenziabile. Puntualmente non è certo vero, ma non riesco a immagine una funzione derivabile in ogni punto che non sia liscia.

Questo è sbagliato, occhio alle definizioni corrette.
Anche se $f$ è derivabile, in un punto, lungo tutte le direzioni, non implica che sia differenziabile.
Lascia stare il "derivabile in ogni punto", perché serve a poco: la derivabilità/differenziabilità è una proprietà puntuale, non si "diffonde" ai punti vicini.
Quindi derivabile in ogni punto $\ne$ differenziabile: devono verificarsi diverse condizioni.