Domande sugli integrali
Salve, ci sono dei concetti del calcolo integrale che non mi sono sufficientemente chiari. Confido, dunque, nel vostro aiuto:
1) La primitiva di una funzione è una funzione che mostra tutti i possibili valori numerici dell'area che il grafico della funzione può sottendere per una Qualsiasi scelta degli estremi di integrazione in [a,b]? Quello che ho detto sarebbe l'integrale indefinito?
2) Al contrario, l'integrale definito si ottiene quando la funzione integrale (o primitiva) è calcolata su un intervallo (naturalmente minore o al più uguale all'intervallo di definizione della funzione f) ben preciso intervallo in [a,b]. Più precisamente, a prescindere dalla dimostrazione, perchè, dal punto di vista grafico, l'area sottesa da una funzione è pari alla differenza tra la funzione integrale definita in un estremo e la funzione integrale definita nell'altro estremo di [a,b] (non mi è chiara la situazione grafica)?
3) Nel metodo dell'integrazione per parti, qual è il significato del fattore differenziale? Ha lo stesso significato del differenziale o è qualcosa di puramente estetico? Inoltre, cosa significa precisamente la scritta $dx$ nella definizione di integrale? Corrisponde ad un piccolo incremento di ascisse oppure serve solo per "abbellire la definizione"?
Grazie per le risposte.
1) La primitiva di una funzione è una funzione che mostra tutti i possibili valori numerici dell'area che il grafico della funzione può sottendere per una Qualsiasi scelta degli estremi di integrazione in [a,b]? Quello che ho detto sarebbe l'integrale indefinito?
2) Al contrario, l'integrale definito si ottiene quando la funzione integrale (o primitiva) è calcolata su un intervallo (naturalmente minore o al più uguale all'intervallo di definizione della funzione f) ben preciso intervallo in [a,b]. Più precisamente, a prescindere dalla dimostrazione, perchè, dal punto di vista grafico, l'area sottesa da una funzione è pari alla differenza tra la funzione integrale definita in un estremo e la funzione integrale definita nell'altro estremo di [a,b] (non mi è chiara la situazione grafica)?
3) Nel metodo dell'integrazione per parti, qual è il significato del fattore differenziale? Ha lo stesso significato del differenziale o è qualcosa di puramente estetico? Inoltre, cosa significa precisamente la scritta $dx$ nella definizione di integrale? Corrisponde ad un piccolo incremento di ascisse oppure serve solo per "abbellire la definizione"?
Grazie per le risposte.
Risposte
"Soscia":
Salve, ci sono dei concetti del calcolo integrale che non mi sono sufficientemente chiari. Confido, dunque, nel vostro aiuto:
1) La primitiva di una funzione è una funzione che mostra tutti i possibili valori numerici dell'area che il grafico della funzione può sottendere per una Qualsiasi scelta degli estremi di integrazione in [a,b]? Quello che ho detto sarebbe l'integrale indefinito?
No, quello che hai detto semplicemente non ha senso.
"Soscia":
2) Al contrario, l'integrale definito si ottiene quando la funzione integrale (o primitiva) è calcolata su un intervallo (naturalmente minore o al più uguale all'intervallo di definizione della funzione f) ben preciso intervallo in [a,b]. Più precisamente, a prescindere dalla dimostrazione, perchè, dal punto di vista grafico, l'area sottesa da una funzione è pari alla differenza tra la funzione integrale definita in un estremo e la funzione integrale definita nell'altro estremo di [a,b] (non mi è chiara la situazione grafica)?
Perchè così è; la formula del calcolo integrale è uno di quei piccoli miracoli della Matematica.
"Soscia":
3) Nel metodo dell'integrazione per parti, qual è il significato del fattore differenziale? Ha lo stesso significato del differenziale o è qualcosa di puramente estetico? Inoltre, cosa significa precisamente la scritta $dx$ nella definizione di integrale? Corrisponde ad un piccolo incremento di ascisse oppure serve solo per "abbellire la definizione"?
La questione è complicata assai. Il simbolo [tex]$\text{d} x$[/tex] può assumere una gran varietà di significati, a seconda del contesto, ma sostanzialmente potrebbe essere anche eliminato.
Il perchè sia rimasto nella notazione è che è estremamente utile nella manipolazione degli integrali.
Vedi le dispensine di FP e questo vecchio thread per qualche chiarimento in più.
"gugo82":
[quote="Soscia"]Salve, ci sono dei concetti del calcolo integrale che non mi sono sufficientemente chiari. Confido, dunque, nel vostro aiuto:
1) La primitiva di una funzione è una funzione che mostra tutti i possibili valori numerici dell'area che il grafico della funzione può sottendere per una Qualsiasi scelta degli estremi di integrazione in [a,b]? Quello che ho detto sarebbe l'integrale indefinito?
No, quello che hai detto semplicemente non ha senso.
"Soscia":
2) Al contrario, l'integrale definito si ottiene quando la funzione integrale (o primitiva) è calcolata su un intervallo (naturalmente minore o al più uguale all'intervallo di definizione della funzione f) ben preciso intervallo in [a,b]. Più precisamente, a prescindere dalla dimostrazione, perchè, dal punto di vista grafico, l'area sottesa da una funzione è pari alla differenza tra la funzione integrale definita in un estremo e la funzione integrale definita nell'altro estremo di [a,b] (non mi è chiara la situazione grafica)?
Perchè così è; la formula del calcolo integrale è uno di quei piccoli miracoli della Matematica.
"Soscia":
3) Nel metodo dell'integrazione per parti, qual è il significato del fattore differenziale? Ha lo stesso significato del differenziale o è qualcosa di puramente estetico? Inoltre, cosa significa precisamente la scritta $dx$ nella definizione di integrale? Corrisponde ad un piccolo incremento di ascisse oppure serve solo per "abbellire la definizione"?
La questione è complicata assai. Il simbolo [tex]$\text{d} x$[/tex] può assumere una gran varietà di significati, a seconda del contesto, ma sostanzialmente potrebbe essere anche eliminato.
Il perchè sia rimasto nella notazione è che è estremamente utile nella manipolazione degli integrali.
Vedi le dispensine di FP e questo vecchio thread per qualche chiarimento in più.[/quote]
Ciao, innanzitutto grazie per la risposta. Riguardo il primo punto, forse mi sono espresso male. Quello che voglio dire è che se la primitiva calcolata nei due estremi mi dà l'integrale definito, cioè il valore dell'area sottesa dalla curva (un certo numero), allora l'integrale indefinito, cioè l'insieme delle primitive, è un'equazione generale, una funzione generale che, calcolata in punti ben precisi, fornisce il valore di tale area; per esemoio, derivando una qualsiasi funzione di secondo grado in poi, io ottengo non il valore della derivata nel punto, bensì un'equazione generale valida per ogni punto della funzione; calcolando poi tale funzione-derivata in un punto specifico, ottengo il valore (il numero) della derivata in quel punto. Allo stesso modo la penso sulla primitiva.
Ho un'altra domanda: le regole di integrazione per parti e per sostituzione che ha spiegato il professore l'altro giorno servono per calcolare le primitive delle funzioni, cioè l'integrale indefinito? Quindi, dopo aver calcolato la primitiva, per calcolare l'integrale definito in a,b devo semplicemente fare la differenza tra la primitiva calcolata nel punto b e la primitiva calcolata nel punto a?
PS= purtroppo io ho bisogno di esempi grafici, le dimostrazioni teoriche non mi soddisfano abbastanza.
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