Domande flash - Varietà e dintorni
Faccio riferimento alla seguente definizione di sottovarietà differenziabile:
Un insieme \(M \subset \mathbb{R}^n \) è una sottovarietà differenziabile di \(\mathbb{R}^n\) di classe \( \mathcal{C}^k \), \(k \ge 1\), e di dimensione \( d\), con \(1 \le d \le n-1 \), se per ogni \( \bar{x} \in M \) esistono \( \delta > 0\) ed \( f \in \mathcal{C}^k (B_{\delta}(\bar{x}); \mathbb{R}^{n-d})\) tali che:
i) \(B_{\delta}(\bar{x}) \cap M = \{ x \in B_{\delta}(\bar{x}) : f(x)=0 \} \);
ii) rango \(J_{f}(x) = n-d \) in ogni punto \(x \in B_{\delta}(\bar{x}) \) (ipotesi di rango massimo).
Domanda: è vero che una sottovarietà diff. è (sempre) un chiuso?
Arzigogolo: se la \(f\) della definizione è definita su un aperto \(A\) t.c. \(M \subset A\) (come avviene più o meno sempre negli esercizi), allora \(M=f^{\leftarrow} \{0\} \), e in quanto controimmagine di un chiuso mediante funzione continua, è un chiuso.
Supponiamo ora che \(M\) sia un insieme non numerabile, scegliamo \(P \subset M\) e definiamo una funzione \(g : P \to \mathbb{R}\) che associ ad ogni punto di \(P\) il raggio \(\delta\) della palla che permetta di verificare la definizione, il tutto in modo tale che \[\bigcup_{\bar{x} \in P, \, \delta =g(\bar{x})} B_{\delta} (\bar{x}) \cap M=M \]con unione disgiunta. Se \(P\) non è numerabile, è possibile che ad ogni \(\bar{x}\) sia "associata" una funzione continua diversa? Lo domando perché in tal modo \(M\) sarebbe unione non numerabile di chiusi, e quindi non necessariamente chiuso.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro (in realtà credo di non esserlo stato per niente).
Ringrazio.
Un insieme \(M \subset \mathbb{R}^n \) è una sottovarietà differenziabile di \(\mathbb{R}^n\) di classe \( \mathcal{C}^k \), \(k \ge 1\), e di dimensione \( d\), con \(1 \le d \le n-1 \), se per ogni \( \bar{x} \in M \) esistono \( \delta > 0\) ed \( f \in \mathcal{C}^k (B_{\delta}(\bar{x}); \mathbb{R}^{n-d})\) tali che:
i) \(B_{\delta}(\bar{x}) \cap M = \{ x \in B_{\delta}(\bar{x}) : f(x)=0 \} \);
ii) rango \(J_{f}(x) = n-d \) in ogni punto \(x \in B_{\delta}(\bar{x}) \) (ipotesi di rango massimo).
Domanda: è vero che una sottovarietà diff. è (sempre) un chiuso?
Arzigogolo: se la \(f\) della definizione è definita su un aperto \(A\) t.c. \(M \subset A\) (come avviene più o meno sempre negli esercizi), allora \(M=f^{\leftarrow} \{0\} \), e in quanto controimmagine di un chiuso mediante funzione continua, è un chiuso.
Supponiamo ora che \(M\) sia un insieme non numerabile, scegliamo \(P \subset M\) e definiamo una funzione \(g : P \to \mathbb{R}\) che associ ad ogni punto di \(P\) il raggio \(\delta\) della palla che permetta di verificare la definizione, il tutto in modo tale che \[\bigcup_{\bar{x} \in P, \, \delta =g(\bar{x})} B_{\delta} (\bar{x}) \cap M=M \]con unione disgiunta. Se \(P\) non è numerabile, è possibile che ad ogni \(\bar{x}\) sia "associata" una funzione continua diversa? Lo domando perché in tal modo \(M\) sarebbe unione non numerabile di chiusi, e quindi non necessariamente chiuso.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro (in realtà credo di non esserlo stato per niente).
Ringrazio.
Risposte
Allora... quello che riesco a dirti adesso è che sicuramente una condizione sufficiente facile (ma un po' meno restrittiva di quella che suggerivi) affinché si possa concludere con certezza che \( M \) è un chiuso è che esista \( N \in \mathbb{N} \) e punti \( x_{1}, \dots, x_{N} \in M \) tali che, detti \( \delta_{j} \) e \( f_{j} \) il numero e la funzione associati al punto \( x_{j} \) dalla definizione, si abbia
\[
M \subset \bigcup_{j = 1}^{N} B_{\delta_j}(x_j).
\]
Infatti, in tal caso
\[
M = \bigcup_{j = 1}^{N} \{ x \in B_{\delta_j}(x_j) | f_j(x) = 0 \}
\]
e quindi \( M \) è unione finita di chiusi. Nel caso generale, mi sembra si possa solo concludere che \( M \) è localmente chiusa, ma non chiusa... ovviamente, un controesempio dovrebbe essere costruito ad hoc e ricercato tra quelle sottovarietà che (sostanzialmente) non ammettono alcun atlante finito, che non sono poi granché comuni nella pratica.
Più di così non saprei dirti, vista anche l'ora... ci penso un po', o comunque aspettiamo qualcuno più ferrato di me sull'argomento. Ciao
\[
M \subset \bigcup_{j = 1}^{N} B_{\delta_j}(x_j).
\]
Infatti, in tal caso
\[
M = \bigcup_{j = 1}^{N} \{ x \in B_{\delta_j}(x_j) | f_j(x) = 0 \}
\]
e quindi \( M \) è unione finita di chiusi. Nel caso generale, mi sembra si possa solo concludere che \( M \) è localmente chiusa, ma non chiusa... ovviamente, un controesempio dovrebbe essere costruito ad hoc e ricercato tra quelle sottovarietà che (sostanzialmente) non ammettono alcun atlante finito, che non sono poi granché comuni nella pratica.
Più di così non saprei dirti, vista anche l'ora... ci penso un po', o comunque aspettiamo qualcuno più ferrato di me sull'argomento. Ciao
Se prendi l'asse delle $x$ in $\mathbb{R}^2$ e ci fai un buco, esso verifica la definizione di sottovarietà? Mi sa di si. In questo caso $f(x, y)=y$ e il raggio della palla è la distanza di $(x_0, 0)$ dal buco.
Ciao
Ciao
"s.stuv":
Allora... quello che riesco a dirti adesso è che sicuramente una condizione sufficiente facile (ma un po' meno restrittiva di quella che suggerivi) affinché si possa concludere con certezza che \( M \) è un chiuso è che esista \( N \in \mathbb{N} \) e punti \( x_{1}, \dots, x_{N} \in M \) tali che, detti \( \delta_{j} \) e \( f_{j} \) il numero e la funzione associati al punto \( x_{j} \) dalla definizione, si abbia
\[
M \subset \bigcup_{j = 1}^{N} B_{\delta_j}(x_j).
\]
Infatti, in tal caso
\[
M = \bigcup_{j = 1}^{N} \{ x \in B_{\delta_j}(x_j) | f_j(x) = 0 \}
\]
e quindi \( M \) è unione finita di chiusi. Nel caso generale, mi sembra si possa solo concludere che \( M \) è localmente chiusa, ma non chiusa... ovviamente, un controesempio dovrebbe essere costruito ad hoc e ricercato tra quelle sottovarietà che (sostanzialmente) non ammettono alcun atlante finito, che non sono poi granché comuni nella pratica.
Più di così non saprei dirti, vista anche l'ora... ci penso un po', o comunque aspettiamo qualcuno più ferrato di me sull'argomento. Ciao
Hai centrato in pieno il problema (in realtà mi accorgo ora che, utilizzando la notazione che ho introdotto, si poteva anche supporre $P$ solo numerabile, ed il nocciolo della questione non sarebbe mutato). Ti ringrazio anche qui!
Benissimo. Comunque, @dissonance ci ha proposto un ottimo esempio di una sottovarietà che non sia chiusa, quindi direi che abbiamo risolto.
Cribbio, non l'avevo manco visto l'intervento di dissonance!
Grazie dissonance!
Grazie dissonance!
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