Domande ed esercizi funzioni-limiti-derivate
Raggruppo tutto in un post cosi evito di inquinare il forum:
Mi servirebbero un po di conferme ed un mano per qualche esercizio...allora
1) per verificare che una funzione sia continua in un certo intervallo di valori come si fa...cioè io so che per vedere ad esempio che una funzione è continua in 0, si fa il limite della funzione per x che tende a 0+ e x che tende a 0-, se il valore dei limiti è uguale allora è continua in 0, ma per vedere se è continua in un intervallo??
2)quando viene chiesto di verificare se esistono in x=0 le derivate prima e seconda di una funzione cosa dovrei fare? Credo di dover innanzitutto calcolare derivata prima e seconda, quindi poi fare il limite per x che tende a 0+ e a 0- di entrambe per vedere se sono derivabili in quel punto??
3)quando viene chiesto dire quante volte è derivabile una funzione e chiaramente viene data la funzione, cosa dovrei fare??
per ora mi fermo qui con le domande e se qualcuno può aiutarmi a capire come risolvere tali tipi di esercizi poi proverò da solo e in caso non riuscissi chiederei di nuovo aiuto.
grazie a tt
--------------------
Admin: Esercizi limiti
Mi servirebbero un po di conferme ed un mano per qualche esercizio...allora
1) per verificare che una funzione sia continua in un certo intervallo di valori come si fa...cioè io so che per vedere ad esempio che una funzione è continua in 0, si fa il limite della funzione per x che tende a 0+ e x che tende a 0-, se il valore dei limiti è uguale allora è continua in 0, ma per vedere se è continua in un intervallo??
2)quando viene chiesto di verificare se esistono in x=0 le derivate prima e seconda di una funzione cosa dovrei fare? Credo di dover innanzitutto calcolare derivata prima e seconda, quindi poi fare il limite per x che tende a 0+ e a 0- di entrambe per vedere se sono derivabili in quel punto??
3)quando viene chiesto dire quante volte è derivabile una funzione e chiaramente viene data la funzione, cosa dovrei fare??
per ora mi fermo qui con le domande e se qualcuno può aiutarmi a capire come risolvere tali tipi di esercizi poi proverò da solo e in caso non riuscissi chiederei di nuovo aiuto.
grazie a tt
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Admin: Esercizi limiti
Risposte
Questa non è matematica discreta, dovresti spostare in Superiori o al massimo in Università.
Comunque cerco ti aiutarti:
1) La definizione di continuità in un punto $x_0$ di una funzione $f(x)$ (immagino da R in R) vuole che esistano finiti (cioè diversi da $+-oo$) i limiti
$lim_{x->x_o^-} f(x)$ e $lim_{x->x_o^-} f(x)$, e che coincidano EDIT con il valore della funzione nel punto (distrazione significativa...grazie rumik per la segnalazione)
Una funzione è continua in un intervallo se è continua in ogni suo punto. Chiaramente essendo tali punti infiniti, non puoi verificare la definizione per ogni punto. Quindi devi analizzare nel tuo intervallo i possibili "punti critici" della funzione, dove magari c'è il rischio che a denominatore compaia uno zero, oppure che la funzione si metta a oscillare infinite volte (tipo $(sin(1/x)$ nei prezzi dello zero), che faccia un "salto"... Queste cose, il "colpo d'occhio" lo acquisisci con gli esercizi. Quindi se ti è utile postane qualcuno, prova a risolverli e ti diciamo come va.
2) Anche qui la tua risposta è molto semplice, e viene anch'essa dalla teoria, che ti consiglio di studiare meglio-
Per definizione, una funzione $f(x)$ è derivabile in un punto $x_0$ se esistono finiti e coincidono i limiti del rapporto incrementale, destro e sinistro, relativo l punto $x_0$, ovvero se esistono finiti, e coincidenti, i seguenti limiti
$lim_{h->x_0^-}(f(x+h)-f(x))/h$ e $lim_{h->x_0^+}(f(x+h)-f(x))/h$.
Quella che hai detto te, cioè fare i limiti della derivata, equivale a studiare la continuità della derivata (poichè la derivata è essa stessa una funzione $g(x)=f'(x)$, e per studiarne le continuità si fa come qualunque altra funzione, cioè facendo i limiti destri e sinistri relativi al punto $x_0$ e si vede se esistono, se sono finiti e se coincidono EDIT col valore della derivata nel punto).
La continuità della derivata implica la derivabilità della funzione (è quindi una condizione sufficiente, se dimostri che la derivata è continua hai finito) ma non viceversa.
Ma può capitare che una funzione sia derivabile, ma che la sua derivata non sia continua, e quindi usi la definizione di derivabilità Per un esempio ti rimando qui https://www.matematicamente.it/forum/ese ... 51-10.html
3) E' semplice: vedi se la funzione di partenza è derivabile, se lo è ti calcoli la derivata, e riguardi (ancora con la definizione) se è derivabile, e così via. Quando arrivi a una derivata (ed è il risultato dell'$n$-esima derivazione) che non è sua volta derivabile, allora la funzione è derivabile (esattamente) $n$ volte, cioè appartiene a $D^n$. Se inoltre la derivata ennesima è continua, allora la funzione si dice appartenere a $C^n$ (è ovvio che le derivate passate erano tutte continue, poichè "derivabile=>continua", devi sempre ricordarti che la continuità è condizione necessaria per la derivata)
ciao!
p.s. invito qualcuno a spostare il topic
Comunque cerco ti aiutarti:
1) La definizione di continuità in un punto $x_0$ di una funzione $f(x)$ (immagino da R in R) vuole che esistano finiti (cioè diversi da $+-oo$) i limiti
$lim_{x->x_o^-} f(x)$ e $lim_{x->x_o^-} f(x)$, e che coincidano EDIT con il valore della funzione nel punto (distrazione significativa...grazie rumik per la segnalazione)
Una funzione è continua in un intervallo se è continua in ogni suo punto. Chiaramente essendo tali punti infiniti, non puoi verificare la definizione per ogni punto. Quindi devi analizzare nel tuo intervallo i possibili "punti critici" della funzione, dove magari c'è il rischio che a denominatore compaia uno zero, oppure che la funzione si metta a oscillare infinite volte (tipo $(sin(1/x)$ nei prezzi dello zero), che faccia un "salto"... Queste cose, il "colpo d'occhio" lo acquisisci con gli esercizi. Quindi se ti è utile postane qualcuno, prova a risolverli e ti diciamo come va.
2) Anche qui la tua risposta è molto semplice, e viene anch'essa dalla teoria, che ti consiglio di studiare meglio-
Per definizione, una funzione $f(x)$ è derivabile in un punto $x_0$ se esistono finiti e coincidono i limiti del rapporto incrementale, destro e sinistro, relativo l punto $x_0$, ovvero se esistono finiti, e coincidenti, i seguenti limiti
$lim_{h->x_0^-}(f(x+h)-f(x))/h$ e $lim_{h->x_0^+}(f(x+h)-f(x))/h$.
Quella che hai detto te, cioè fare i limiti della derivata, equivale a studiare la continuità della derivata (poichè la derivata è essa stessa una funzione $g(x)=f'(x)$, e per studiarne le continuità si fa come qualunque altra funzione, cioè facendo i limiti destri e sinistri relativi al punto $x_0$ e si vede se esistono, se sono finiti e se coincidono EDIT col valore della derivata nel punto).
La continuità della derivata implica la derivabilità della funzione (è quindi una condizione sufficiente, se dimostri che la derivata è continua hai finito) ma non viceversa.
Ma può capitare che una funzione sia derivabile, ma che la sua derivata non sia continua, e quindi usi la definizione di derivabilità Per un esempio ti rimando qui https://www.matematicamente.it/forum/ese ... 51-10.html
3) E' semplice: vedi se la funzione di partenza è derivabile, se lo è ti calcoli la derivata, e riguardi (ancora con la definizione) se è derivabile, e così via. Quando arrivi a una derivata (ed è il risultato dell'$n$-esima derivazione) che non è sua volta derivabile, allora la funzione è derivabile (esattamente) $n$ volte, cioè appartiene a $D^n$. Se inoltre la derivata ennesima è continua, allora la funzione si dice appartenere a $C^n$ (è ovvio che le derivate passate erano tutte continue, poichè "derivabile=>continua", devi sempre ricordarti che la continuità è condizione necessaria per la derivata)
ciao!
p.s. invito qualcuno a spostare il topic
per la continuità non basta che limite destro e sinistro coincidono il valore della funzione nel punto deve essere uguale al valore dei limiti
per ora è tutto chiaro da quello che mi avete detto, proverò quindi a fare qualche esercizio e nel caso nn riuscissi a risolverlo lo posto...grazie
Stavo provando a fare questo esercizio:
$\{(e^-(1/(x^2)), x>0),(x^2, x<=0):}$
l'esercizio chiede di studiare la continuità in x=0 della derivata prima della precedente funzione.
Quindi ho proceduto a fare la derivata prima della funzione ed ho la seguente cosa:
$\{(2(e^-(1/(x^2)))/(x^3), x>0),(2x, x<=0):}$
facendo il limite sinistro che tende a 0- quindi devo prendere $2x$, mentre il limite per $x$ che tende a 0+ devo prendere $(2(e^-(1/(x^2)))/(x^3))$
Sperando che fin qui è tutto giusto fancendo i limiti ad uno esce 0 (0-) e all'altro mi esce (e^-infinito) / 0 =-infinito(non ne sono sicuro).
Se tutto quello che ho fatto è giusto (cosa improbabile) allora se ne deduce che la derivata prima di f(x) non è continua nel punto x=0.
Cosa ne pensate?
$\{(e^-(1/(x^2)), x>0),(x^2, x<=0):}$
l'esercizio chiede di studiare la continuità in x=0 della derivata prima della precedente funzione.
Quindi ho proceduto a fare la derivata prima della funzione ed ho la seguente cosa:
$\{(2(e^-(1/(x^2)))/(x^3), x>0),(2x, x<=0):}$
facendo il limite sinistro che tende a 0- quindi devo prendere $2x$, mentre il limite per $x$ che tende a 0+ devo prendere $(2(e^-(1/(x^2)))/(x^3))$
Sperando che fin qui è tutto giusto fancendo i limiti ad uno esce 0 (0-) e all'altro mi esce (e^-infinito) / 0 =-infinito(non ne sono sicuro).
Se tutto quello che ho fatto è giusto (cosa improbabile) allora se ne deduce che la derivata prima di f(x) non è continua nel punto x=0.
Cosa ne pensate?
Che non ci si capisce veramente niente, sforzati di scrivere bene, sennò è impossibile capire qualcosa. Non è LaTeX, è molto più semplice, molto intuitivo: si tratta solo di abbondare con le parentesi tonde.
Grazie a rubik per la segnalazione sulla distrazione nel mio post precedente.
Grazie a rubik per la segnalazione sulla distrazione nel mio post precedente.
ok ci sono riuscito potete vedere il messaggio precedente
"jdluk87":
Stavo provando a fare questo esercizio:
$\{(e^-(1/(x^2)), x>0),(x^2, x<=0):}$
l'esercizio chiede di studiare la continuità in x=0 della derivata prima della precedente funzione.
Quindi ho proceduto a fare la derivata prima della funzione ed ho la seguente cosa:
$\{(2(e^-(1/(x^2)))/(x^3), x>0),(2x, x<=0):}$
facendo il limite sinistro che tende a 0- quindi devo prendere $2x$, mentre il limite per $x$ che tende a 0+ devo prendere $(2(e^-(1/(x^2)))/(x^3))$
Sperando che fin qui è tutto giusto fancendo i limiti ad uno esce 0 (0-)
Fin qui è tutto giusto. In realtà per fare le cose ben fatte potevi prima verificare la derivabilità della funzione, ma a posteriori si vede che non serve.
"jdluk87":
e all'altro mi esce (e^-infinito) / 0 =-infinito(non ne sono sicuro).
Questo è sbagliato, anche il secondo limite fa zero, e dunque i limiti sono uguali, cioè la derivata prima è continua in $0$ (e dunque anche la funzione era derivabile)
potresti spiegarmi perchè esce zero anche l'altro limite...non mi torna
Vediamo se così riesci a vederlo.
Puoi scrivere il tuo limite (tralascio il $2$ che è ininfluente) come
$lim_{x->0^+)1/((e^(1/x^2))*x^3)$, e operiamo il cambio di varaibile $y=1/x$. Ottieni allora che per $x->0^+$ la $y$ tende a $+oo$. Abbiamo quindi
$ lim_{y->+oo)y^3/(e^(y^2))$. E' vero che è un rapporto di infiniti, ma il denominatore ha un ordine di infinito superiore (è un esponenziale, mentre a numeratore hai un polinomio), e dunque al tendere di $y$ all'infinito il rapporto tende a $0$, e quindi anche il limite iniziale è $0$.
Tutto chiaro?
P.S. invito ancora qualcuno di potere a spostare il topic, cosicchè abbia maggiore visibilità.
Puoi scrivere il tuo limite (tralascio il $2$ che è ininfluente) come
$lim_{x->0^+)1/((e^(1/x^2))*x^3)$, e operiamo il cambio di varaibile $y=1/x$. Ottieni allora che per $x->0^+$ la $y$ tende a $+oo$. Abbiamo quindi
$ lim_{y->+oo)y^3/(e^(y^2))$. E' vero che è un rapporto di infiniti, ma il denominatore ha un ordine di infinito superiore (è un esponenziale, mentre a numeratore hai un polinomio), e dunque al tendere di $y$ all'infinito il rapporto tende a $0$, e quindi anche il limite iniziale è $0$.
Tutto chiaro?
P.S. invito ancora qualcuno di potere a spostare il topic, cosicchè abbia maggiore visibilità.
si giusto...era semplice. Continuo a fare esercizi e nel caso posto...e se passo l'esame offro a beve..hehehe
ecco ad esempio questo esercizio mi chiede di studiare la continuità in (0,0) della funzione
$f(x,y)=\{((-((x^2)(y)))/((x^6)+(y^2)), (x,y)<>(0,0)),(0, (x,y)=(0,0)):}$
quindi in questo caso il limite lo farò per $x->?$ ?
$f(x,y)=\{((-((x^2)(y)))/((x^6)+(y^2)), (x,y)<>(0,0)),(0, (x,y)=(0,0)):}$
quindi in questo caso il limite lo farò per $x->?$ ?
scusate le troppe parentesi e al posto delle "&" ci sono le "," e il <> corrisponde a diverso
nessuno??
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