Domande di teoria campi vettoriali
CIao a tutti,
ho alcuni dubbi circa i campi vettoriali e gli integrali di linea di seconda specie.
- la forma differenziale esatta w = dL è anche una f primitiva della funzione potenziale?
- perchè in una regione in cui il campo non è continuo non può calcolarsi il lavoro lungo una curva qualsiasi congiungente due punti contenuti in tale regione?
- spesso, in esercizi, si chiede di calcolare la f potenziale che si annulla in un punto (x0, y0). Per risolvere tali esercizi, si compie un percorso lungo gli assi coordinati per trovare la f potenziale. Non capisco perchè.. poichè F = gradU qualora sussista la conservatività del campo, non basterebbero delle integrazioni indefinite?
grazie a chi mi darà una mano
ho alcuni dubbi circa i campi vettoriali e gli integrali di linea di seconda specie.
- la forma differenziale esatta w = dL è anche una f primitiva della funzione potenziale?
- perchè in una regione in cui il campo non è continuo non può calcolarsi il lavoro lungo una curva qualsiasi congiungente due punti contenuti in tale regione?
- spesso, in esercizi, si chiede di calcolare la f potenziale che si annulla in un punto (x0, y0). Per risolvere tali esercizi, si compie un percorso lungo gli assi coordinati per trovare la f potenziale. Non capisco perchè.. poichè F = gradU qualora sussista la conservatività del campo, non basterebbero delle integrazioni indefinite?
grazie a chi mi darà una mano
Risposte
"Suv":
- la forma differenziale esatta w = dL è anche una f primitiva della funzione potenziale?
Certo. Considera le forme differenziali un analogo linguaggio dei campi vettoriali. In pratica se ti definisci il campo vettoriale come $ \mathbf{F} = iF_1 + jF_2 + kF_3 $ avrai il lavoro elementare di F: $ dL = F_1 dx + F_2 dy + F_3 dz $ e la forma differenziale:
$ \omega = F_1 dx + F_2 dy + F_3 dz $.
Ora dire forma differenziale esatta è sinonimo di campo vettoriale conservativo che è proprio una F-primitiva del potenziale U.
"Suv":
- perchè in una regione in cui il campo non è continuo non può calcolarsi il lavoro lungo una curva qualsiasi congiungente due punti contenuti in tale regione?
Partendo dal fatto che se F è un campo vettoriale irrotazionale, non è detto che sia conservativo e quindi che ammetta un potenziale U (ma invece vale sicuramente il viceversa in un aperto connesso). Infatti il dominio di F deve essere semplicemente connesso, o comunque puoi prendere un intorno sferico (una sfera o pallina) di raggio talmente piccolo da assumere che valga questo cioè che se F è irrotazionale allora F è localmente conservativo.
Dunque se il lavoro di un campo vettoriale non dipende dal percorso e dalla forma del percorso lungo cui effettuo il calcolo ma solo dagli estremi della curva parametrizzata devono esistere gli estremi, o meglio il potenziale agli estremi, poichè il lavoro calcolato tra 2 punti sarà proprio la differenza tra il potenziale al punto $ P_1 $ e quello al punto $ P_2 $.
"Suv":
- spesso, in esercizi, si chiede di calcolare la f potenziale che si annulla in un punto (x0, y0). Per risolvere tali esercizi, si compie un percorso lungo gli assi coordinati per trovare la f potenziale. Non capisco perchè.. poichè F = gradU qualora sussista la conservatività del campo, non basterebbero delle integrazioni indefinite?
A questo punto non ti so rispondere: o meglio, in parte avendo sempre fatto con le integrazioni indefinite non so se vi siano altri metodi e in parte mi è poco chiaro cosa intendi. Per me puoi sempre verificare a priori la conservatività del campo, verificando ovviamente che è irrotazionale (per il discorso che ho fatto prima sugli intorni sferici), e poi procedere con le integrazioni indefinite.
Spero di esserti stato d'aiuto
Provo a dire anche io la mia.
???
Questa domanda è priva di senso.
Volendo, uno può provarci. Ma se il campo non è continuo, ci sono possibilità che l'integrale possa non esistere: ad esempio, potrebbe trattarsi di un integrale improprio non convergente. Fai qualche esperimento con il campo centrale
\[
\mathbb{F}=\frac{1}{r^\alpha}\mathbb{e}_r,\]
vedi cosa succede se provi a integrarlo lungo un segmento che passa per l'origine. Per certi valori di \(\alpha>0\), non avrai particolari problemi, ma per altri, dovresti ottenere un integrale improprio che fa qualche scherzo.
Si, non c'è neanche bisogno di sapere a priori se il campo è conservativo o no. Tu puoi sempre usare il metodo delle integrazioni indefinite oppure quello di integrare lungo un cammino con estremo \((x, y)\). Se il metodo funziona allora il campo è conservativo e quello che avrai ottenuto sarà un suo potenziale. Il problema è che calcolare integrali spesso può essere delicato. La teoria dei campi conservativi (il controllare prima se il campo è irrotazionale, ecc...) serve proprio ad evitare di dover fare tutti questi calcoli solo per determinare se un campo sia conservativo o no.
"Suv":
CIao a tutti,
ho alcuni dubbi circa i campi vettoriali e gli integrali di linea di seconda specie.
- la forma differenziale esatta w = dL è anche una f primitiva della funzione potenziale?
???
Questa domanda è priva di senso.
- perchè in una regione in cui il campo non è continuo non può calcolarsi il lavoro lungo una curva qualsiasi congiungente due punti contenuti in tale regione?
Volendo, uno può provarci. Ma se il campo non è continuo, ci sono possibilità che l'integrale possa non esistere: ad esempio, potrebbe trattarsi di un integrale improprio non convergente. Fai qualche esperimento con il campo centrale
\[
\mathbb{F}=\frac{1}{r^\alpha}\mathbb{e}_r,\]
vedi cosa succede se provi a integrarlo lungo un segmento che passa per l'origine. Per certi valori di \(\alpha>0\), non avrai particolari problemi, ma per altri, dovresti ottenere un integrale improprio che fa qualche scherzo.
- spesso, in esercizi, si chiede di calcolare la f potenziale che si annulla in un punto (x0, y0). Per risolvere tali esercizi, si compie un percorso lungo gli assi coordinati per trovare la f potenziale. Non capisco perchè.. poichè F = gradU qualora sussista la conservatività del campo, non basterebbero delle integrazioni indefinite?
Si, non c'è neanche bisogno di sapere a priori se il campo è conservativo o no. Tu puoi sempre usare il metodo delle integrazioni indefinite oppure quello di integrare lungo un cammino con estremo \((x, y)\). Se il metodo funziona allora il campo è conservativo e quello che avrai ottenuto sarà un suo potenziale. Il problema è che calcolare integrali spesso può essere delicato. La teoria dei campi conservativi (il controllare prima se il campo è irrotazionale, ecc...) serve proprio ad evitare di dover fare tutti questi calcoli solo per determinare se un campo sia conservativo o no.
ciao grazie a entrambi per le risposte esaurienti
volevo porre altre due domande a riguardo:
- - la forma differenziale esatta w = dL è anche una f primitiva della funzione potenziale?
???
Questa domanda è priva di senso.
come mai? Ho posto questa domanda poichè L = ΔU, e dL=w
Domanda 2: come mai , per calcolare la f potenziale, si compie il percorso (xo,yo,zo) -> (x,y,z) lungo segmenti paralleli agli assi coordinati? Qual'è il concetto di fondo? Ha a che fare con la d.d.p.? Grazie:)
volevo porre altre due domande a riguardo:
- - la forma differenziale esatta w = dL è anche una f primitiva della funzione potenziale?
???
Questa domanda è priva di senso.
come mai? Ho posto questa domanda poichè L = ΔU, e dL=w
Domanda 2: come mai , per calcolare la f potenziale, si compie il percorso (xo,yo,zo) -> (x,y,z) lungo segmenti paralleli agli assi coordinati? Qual'è il concetto di fondo? Ha a che fare con la d.d.p.? Grazie:)
Domanda 1: Quale sarebbe la primitiva di \(\omega\)? Non capisco proprio cosa significhi la frase che hai scritto. Forse posso intuire cosa stai pensando, ma se non riformuli in modo corretto la frase non posso rispondere.
Domanda 2: I segmenti paralleli agli assi coordinati a volte semplificano qualche conto, perché il loro elemento di linea è semplicemente \(dx\) o \(dy\). Solo per questo si usano di più. In realtà non hanno assolutamente nulla di diverso dagli altri segmenti.
Domanda 2: I segmenti paralleli agli assi coordinati a volte semplificano qualche conto, perché il loro elemento di linea è semplicemente \(dx\) o \(dy\). Solo per questo si usano di più. In realtà non hanno assolutamente nulla di diverso dagli altri segmenti.
grazie ancora per la risposta
domanda 1: http://calvino.polito.it/~nicola/analis ... _campi.pdf
ho carpito male quanto scritto, in realtà credo sia la f potenziale una delle primitive della f differenziale esatta w.
domanda 2: in realtà ciò che mi chiedo è il perchè del procedimento legato al cammino (x0,y0,z0) -> (x;y;z).. credo sia per definizione di potenziale scalare http://it.wikipedia.org/wiki/Potenziale_scalare, volevo giusto aver conferma.
grazie
domanda 1: http://calvino.polito.it/~nicola/analis ... _campi.pdf
ho carpito male quanto scritto, in realtà credo sia la f potenziale una delle primitive della f differenziale esatta w.
domanda 2: in realtà ciò che mi chiedo è il perchè del procedimento legato al cammino (x0,y0,z0) -> (x;y;z).. credo sia per definizione di potenziale scalare http://it.wikipedia.org/wiki/Potenziale_scalare, volevo giusto aver conferma.
grazie
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