Domande di applicazione della teoria
Salve a tutti, avrei bisogno di una mano per rispondere alle seguenti richieste:
1)Sia f continua tra [1,4] tale che f(1)= -1, f(4)= 3. Si indichi un valore che viene certamente assunto dalla derivata di f e si giustifichi la risposta.
Allora io so che la derivata di un punto della funzione è il coefficiente angolare della retta tangente per quel punto, io posso applicare l'equazione della retta passante per i due punti iniziali che mi da l'esercizio: 3 + 1= m( 4-1), m = 4/3 che rappresenta un valore assunto dalla derivata di f. Anche se non mi convinge il procedimento!
2)Per una funzione g : [-1,3] --> R si dia la definizione di funzione integrale G relativa al punto 0 e se ne illustrino le proprietà.
Questa è una funzione limitata ed essa è integrabile nell'intervallo [-1,3] se risulta che il sup della somma inferiore di g relativa alla suddivisione D (= una suddivisione di [-1,3]) è UGUALE a l'inf della somma superiore di g relativa alla suddivisione D.Però non saprei la definizione specifica di integrale relativa al punto 0. Poi le proprietà sono: se g è continua in [-1,3] allora è integrabile in (-1,3), se g è monotona allora è integrabile in (-1,3).
3) Data f : (-2,1]--> R derivabile in tutti i punti e tale che $ lim_(x -> -1) f'(x) =5 $ , cosa si può dire su f '(-1)?
Premetto che questa domanda proprio non la so, comunque proverei a rispondere che sappiamo che f '(-1)=5 grazie al limite e che 5 rappresenta la pendenza della retta passante per -1, poi essendo il limite finito allora il punto -1 è derivabile
4)Data f : R --> R derivabile in tutti i punti e tale che $ lim_(x -> +oo ) f(x)= +oo $ e $ lim_(x -> -oo ) f(x)= +oo $ si mostri che esiste un punto $ x in RR $ dove f '(x)=0.
Allora il teorema di Rolle non si può applicare perchè non sappiamo se f soddisfa tutte le condizioni, però sappiamo che essendo derivabile in $RR$ allora è anche continua, però non saprei che altre considerazioni fare!
Mi va benissimo anche se rispondiate a solo una domanda, spero che qualcuno mi possa aiutare...Grazie
1)Sia f continua tra [1,4] tale che f(1)= -1, f(4)= 3. Si indichi un valore che viene certamente assunto dalla derivata di f e si giustifichi la risposta.
Allora io so che la derivata di un punto della funzione è il coefficiente angolare della retta tangente per quel punto, io posso applicare l'equazione della retta passante per i due punti iniziali che mi da l'esercizio: 3 + 1= m( 4-1), m = 4/3 che rappresenta un valore assunto dalla derivata di f. Anche se non mi convinge il procedimento!
2)Per una funzione g : [-1,3] --> R si dia la definizione di funzione integrale G relativa al punto 0 e se ne illustrino le proprietà.
Questa è una funzione limitata ed essa è integrabile nell'intervallo [-1,3] se risulta che il sup della somma inferiore di g relativa alla suddivisione D (= una suddivisione di [-1,3]) è UGUALE a l'inf della somma superiore di g relativa alla suddivisione D.Però non saprei la definizione specifica di integrale relativa al punto 0. Poi le proprietà sono: se g è continua in [-1,3] allora è integrabile in (-1,3), se g è monotona allora è integrabile in (-1,3).
3) Data f : (-2,1]--> R derivabile in tutti i punti e tale che $ lim_(x -> -1) f'(x) =5 $ , cosa si può dire su f '(-1)?
Premetto che questa domanda proprio non la so, comunque proverei a rispondere che sappiamo che f '(-1)=5 grazie al limite e che 5 rappresenta la pendenza della retta passante per -1, poi essendo il limite finito allora il punto -1 è derivabile
4)Data f : R --> R derivabile in tutti i punti e tale che $ lim_(x -> +oo ) f(x)= +oo $ e $ lim_(x -> -oo ) f(x)= +oo $ si mostri che esiste un punto $ x in RR $ dove f '(x)=0.
Allora il teorema di Rolle non si può applicare perchè non sappiamo se f soddisfa tutte le condizioni, però sappiamo che essendo derivabile in $RR$ allora è anche continua, però non saprei che altre considerazioni fare!
Mi va benissimo anche se rispondiate a solo una domanda, spero che qualcuno mi possa aiutare...Grazie
Risposte
"Giolly3":
1)Sia f continua tra [1,4] tale che f(1)= -1, f(4)= 3. Si indichi un valore che viene certamente assunto dalla derivata di f e si giustifichi la risposta.
Allora io so che la derivata di un punto della funzione è il coefficiente angolare della retta tangente per quel punto, io posso applicare l'equazione della retta passante per i due punti iniziali che mi da l'esercizio: 3 + 1= m( 4-1), m = 4/3 che rappresenta un valore assunto dalla derivata di f. Anche se non mi convinge il procedimento!
Immagino che tra le ipotesi ci sia anche che $f$ è derivabile, almeno in $(1,4)$. In tal caso la tua risposta è corretta (basta applicare il teorema di Lagrange).
2)Per una funzione g : [-1,3] --> R si dia la definizione di funzione integrale G relativa al punto 0 e se ne illustrino le proprietà.
Questa è una funzione limitata ed essa è integrabile nell'intervallo [-1,3] se risulta che il sup della somma inferiore di g relativa alla suddivisione D (= una suddivisione di [-1,3]) è UGUALE a l'inf della somma superiore di g relativa alla suddivisione D.Però non saprei la definizione specifica di integrale relativa al punto 0. Poi le proprietà sono: se g è continua in [-1,3] allora è integrabile in (-1,3), se g è monotona allora è integrabile in (-1,3).
Beh, questo lo trovi su qualsiasi libro. La funzione integrale relativa ad un certo punto $a$ è semplicemente
$G(x) = \int_a^x g(t) dt$; in altre parole, il punto indicato è il primo estremo di integrazione.
3) Data f : (-2,1]--> R derivabile in tutti i punti e tale che $ lim_(x -> -1) f'(x) =5 $ , cosa si può dire su f '(-1)?
Premetto che questa domanda proprio non la so, comunque proverei a rispondere che sappiamo che f '(-1)=5 grazie al limite e che 5 rappresenta la pendenza della retta passante per -1, poi essendo il limite finito allora il punto -1 è derivabile
E' corretto dire che $f'(-1) = 5$; ad esempio, basta applicare il teor. di L'Hopital al limite del rapporto incrementale.
4)Data f : R --> R derivabile in tutti i punti e tale che $ lim_(x -> +oo ) f(x)= +oo $ e $ lim_(x -> -oo ) f(x)= +oo $ si mostri che esiste un punto $ x in RR $ dove f '(x)=0.
Allora il teorema di Rolle non si può applicare perchè non sappiamo se f soddisfa tutte le condizioni, però sappiamo che essendo derivabile in $RR$ allora è anche continua, però non saprei che altre considerazioni fare!
Questo è difficile da dimostrare dal momento che è falso; considera, ad esempio, la funzione $f(x) = x^3+x$. (Forse uno dei due limiti vale $-\infty$?)
4)Data f : R --> R derivabile in tutti i punti e tale che $ lim_(x -> +oo ) f(x)= +oo $ e $ lim_(x -> -oo ) f(x)= +oo $ si mostri che esiste un punto $ x in RR $ dove f '(x)=0.
Allora il teorema di Rolle non si può applicare perchè non sappiamo se f soddisfa tutte le condizioni, però sappiamo che essendo derivabile in $RR$ allora è anche continua, però non saprei che altre considerazioni fare!
Questo è difficile da dimostrare dal momento che è falso; considera, ad esempio, la funzione $f(x) = x^3+x$. (Forse uno dei due limiti vale $-\infty$?)
Innanzitutto grazie per le risposte
però l'unica cosa che non mi è chiara è l'ultima risposta (i due limiti sono corretti così, entrambi valgono $+∞$) cioè non ho capito su quali ipotesi ti sei basato per dire che è falso...
"Giolly3":
però l'unica cosa che non mi è chiara è l'ultima risposta (i due limiti sono corretti così, entrambi valgono $+∞$) cioè non ho capito su quali ipotesi ti sei basato per dire che è falso...
Ho fatto un esempio di una funzione ($f(x) = x^3+x$) la cui derivata ($f'(x) = 3x^2+1$) diverge a $+\infty$ quando $x\to \pm\infty$, senza mai annullarsi.
Vi prego di correggermi se sbaglio, ma ho letto gli ultimi interventi e non sono d'accordo, con tutto il rispetto, con Rigel: come già lui aveva notato nell'esempio di funzione che aveva proposto $lim_(xto +-oo) x^3+x=+-oo$, cosa che non è in accordo con le ipotesi del punto 4), che richiede $lim_(xto+-oo)=+oo$.
Detto questo, quello che mi domando io è se si può ragionare così: visto che la $f(x)$ è derivabile su tutto $RR$ allora è anche continua su $RR$: quindi, se la $f(x)$ è continua su $RR,\ EEalpha in RR^+, x_1,x_2 in RR: f(x_1)=alpha=f(x_2)$: a questo punto posso usare il teorema di Rolle o di Lagrange e ottengo la tesi.
Vi prego di indicarmi se e dove sbaglio, grazie in anticipo.
Detto questo, quello che mi domando io è se si può ragionare così: visto che la $f(x)$ è derivabile su tutto $RR$ allora è anche continua su $RR$: quindi, se la $f(x)$ è continua su $RR,\ EEalpha in RR^+, x_1,x_2 in RR: f(x_1)=alpha=f(x_2)$: a questo punto posso usare il teorema di Rolle o di Lagrange e ottengo la tesi.
Vi prego di indicarmi se e dove sbaglio, grazie in anticipo.
"Mascaretti":
visto che la $f(x)$ è derivabile su tutto $RR$ allora è anche continua su $RR$: quindi, se la $f(x)$ è continua su $RR,\ EEalpha in RR^+, x_1,x_2 in RR: f(x_1)=alpha=f(x_2)$: a questo punto posso usare il teorema di Rolle o di Lagrange e ottengo la tesi.
Secondo me è giusto, Rigel avrà letto male.
"Giuly19":
Secondo me è giusto, Rigel avrà letto male.
Ho letto male sì: avevo letto $\lim_{x\to\pm\infty} f'(x) = +\infty$, da cui discendeva l'esempio.
Da questo malinteso discendeva infatti anche la mia spiegazione:
"Rigel":
Ho fatto un esempio di una funzione ($f(x)=x^3+x$) la cui derivata ($f'(x)=3x^2+1$) diverge a $+\infty$ quando $x\to\pm\infty$.
ok ora è tutto chiaro. Grazie a tutti!
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