Domande di Analisi
1a) Sia $f(x,y)$ una funzione derivabile in $(0,0)$. Si può affermare che $f(x,y)$ è continua in $(0,0)$ ? Motivare la risposta con argomentazioni fondate e convincenti
1b) Sia $f(x,y)$ una funzione derivabile in $(8,8)$. Si può affermare che $f(x,y)$ è continua in $(8,8)$ ? Motivare la risposta con argomentazioni fondate e convincenti
2) Sia $(1,2)$ un punto di massimo o minimo per una funzione $f(x,y)$. Si può affermare che la funzione $f(x,y)$ è derivabile in $(1,2)$ e le sue derivate parziale si annullano in $(1,2)$ ? Motivare la risposta con argomentazioni fondate e convincenti
3) Sia $f(x,y)$ una funzione derivabile in $R^2$ tale che le sue derivate parziali del primo ordine siano continue in $(1,2)$. Si può affermare che $f_(xy)\(1,2)=f_(yx)\(1,2)$. Motivare la risposta con argomentazioni fondate e convincenti
4) Considerata la funzione $f : [4,7] -> R$ continua. Se $int_4^7\f(x)dx =0$ si può affermare che $f(x)=0$ nel suo dominio ? Motivare la risposta con argomentazioni fondate e convincenti
5) Determinare il massimo ed il minimo assoluto della funzione: F(x) = $int_0^x\4e^(t^2)dt $ in $[0, 1]$
Grazie
1b) Sia $f(x,y)$ una funzione derivabile in $(8,8)$. Si può affermare che $f(x,y)$ è continua in $(8,8)$ ? Motivare la risposta con argomentazioni fondate e convincenti
2) Sia $(1,2)$ un punto di massimo o minimo per una funzione $f(x,y)$. Si può affermare che la funzione $f(x,y)$ è derivabile in $(1,2)$ e le sue derivate parziale si annullano in $(1,2)$ ? Motivare la risposta con argomentazioni fondate e convincenti
3) Sia $f(x,y)$ una funzione derivabile in $R^2$ tale che le sue derivate parziali del primo ordine siano continue in $(1,2)$. Si può affermare che $f_(xy)\(1,2)=f_(yx)\(1,2)$. Motivare la risposta con argomentazioni fondate e convincenti
4) Considerata la funzione $f : [4,7] -> R$ continua. Se $int_4^7\f(x)dx =0$ si può affermare che $f(x)=0$ nel suo dominio ? Motivare la risposta con argomentazioni fondate e convincenti
5) Determinare il massimo ed il minimo assoluto della funzione: F(x) = $int_0^x\4e^(t^2)dt $ in $[0, 1]$
Grazie
Risposte
"parallel":
4) Considerata la funzione $f : [4,7] -> R$ continua. Se $int_4^7\f(x)dx =0$ si può affermare che $f(x)=0$ nel suo dominio ? Motivare la risposta con argomentazioni fondate e convincenti
No. La funzione $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \to x - 11/2$ è infatti continua e tale che $\int_4^7 f(x) dx = 0$. Ciò nondimeno non è identicamente nulla in $[4, 7]$.
"parallel":
2) Sia $(1,2)$ un punto di massimo o minimo per una funzione $f(x,y)$. Si può affermare che la funzione $f(x,y)$ è derivabile in $(1,2)$ e le sue derivate parziale si annullano in $(1,2)$ ? Motivare la risposta con argomentazioni fondate e convincenti
No, infatti $f:RR^2 rightarrow RR^2$ con $f(1,2)=-5$ e $f(x,y)=0$ altrove, ha in $(1,2)$ un punto di minimo ma non è ivi derivabile.
"parallel":
1a) Sia $f(x,y)$ una funzione derivabile in $(0,0)$. Si può affermare che $f(x,y)$ è continua in $(0,0)$ ? Motivare la risposta con argomentazioni fondate e convincenti
1b) Sia $f(x,y)$ una funzione derivabile in $(8,8)$. Si può affermare che $f(x,y)$ è continua in $(8,8)$ ? Motivare la risposta con argomentazioni fondate e convincenti
Rispondo alla prima, ma il discorso si ripete tale e quale anche per l'altra. La risposta è no. Consideriamo infatti la funzione $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ definita assumendo $f(x,y) = xe^{x/y}$, se $y \ne 0$; $f(x,0) = 0$, per ogni $(x,y) \in \mathbb{R}^2$. Com'è noto, ogni direzione di $\mathbb{R}^2$ si può descrivere a mezzo del versore $u := (\cos \theta, \sin \theta)$, per $\theta \in [0, 2\pi[$. Posto quindi $L(\theta) := \lim_{t \to 0} \frac{f((0,0) + tu) - f((0,0))}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{f((0,0) + tu)}{t}$, qualunque sia $\theta \in [0, 2\pi[$, si trova $L(\theta) = \cos \theta e^{\ctg \theta}$, se $\theta \ne 0, \pi$; $L(0) = L(\pi) = 0$. Pertanto $f$ è derivabile in $(0,0)$ lungo ogni direzione del piano. Ciò nonostante, $f$ non è continua in $(0,0)$.
"parallel":
3) Sia $f(x,y)$ una funzione derivabile in $R^2$ tale che le sue derivate parziali del primo ordine siano continue in $(1,2)$. Si può affermare che $f_(xy)\(1,2)=f_(yx)\(1,2)$. Motivare la risposta con argomentazioni fondate e convincenti
No. Tanto più che, nelle ipotesi indicate, la funzione potrebbe benissimo non essere derivabile in $(1,2)$. E' giusto il caso della mappa $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2: (x,y) \rightarrow (x+y-3)^{4/3}$.
EDIT: vedi oltre l'annotazione di ficus2002.
"parallel":
5) Determinare il massimo ed il minimo assoluto della funzione: F(x) = $int_0^x\4e^(t^2)dt $ in $[0, 1]$
$F$ non ha nè massimo nè minimo assoluto in (0,1). Infatti $F$ è derivabile in ogni punto del dominio e per ogni $x in (0,1)$ si ha $F'(x)=4e^(t^2)>0$. Di conseguenza $0$ è minimo assoluto e $1$ è massimo assoluto.
"parallel":
5) Determinare il massimo ed il minimo assoluto della funzione: F(x) = $int_0^x\4e^(t^2)dt $ in $[0, 1]$
Ci manca qualche pezzo o il problema è proprio così come lo leggo? In questo secondo caso la risposta è facile: il minimo assoluto vale $0$, il massimo è pari invece al valore dell'integrale $\int_0^1 4e^{t^2} dt$. Questo perché l'integranda è positiva sull'intervallo di integrazione, e quindi la funzione integrale è ivi monotona (strettamente) crescente.
"ficus2002":
$F$ non ha nè massimo nè minimo assoluto. Infatti $F$ è derivabile in ogni punto del dominio e per ogni $x in [0,1]$ si ha $F'(x)=4e^(t^2)>0$.
Curioso: il teorema di Weierstrass suggerisce esattamente il contrario!
"HiTLeuLeR":
[quote="parallel"]5) Determinare il massimo ed il minimo assoluto della funzione: F(x) = $int_0^x\4e^(t^2)dt $ in $[0, 1]$
Ci manca qualche pezzo o il problema è proprio così come lo leggo? In questo secondo caso la risposta è facile: il minimo assoluto vale $0$, il massimo è pari invece al valore dell'integrale $\int_0^1 4e^{t^2} dt$. Questo perché l'integranda è positiva sull'intervallo di integrazione, e quindi la funzione integrale è ivi monotona (strettamente) crescente.[/quote]
Si si, è come leggi, non ho omesso nulla
"HiTLeuLeR":
[quote="parallel"]3) Sia $f(x,y)$ una funzione derivabile in $R^2$ tale che le sue derivate parziali del primo ordine siano continue in $(1,2)$. Si può affermare che $f_(xy)\(1,2)=f_(yx)\(1,2)$. Motivare la risposta con argomentazioni fondate e convincenti
No. Tanto più che, nelle ipotesi indicate, la funzione potrebbe benissimo non essere derivabile in $(1,2)$. E' giusto il caso della mappa $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2: (x,y) \rightarrow (x-1) |x-1| + (y-2) |y-2|$.[/quote]
Questo esempio non va bene. Se $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2: (x,y) \rightarrow (x-1) |x-1| + (y-2) |y-2|$ allora
${del f}/{del x}=2|x-1|$ quindi ${del f}/{del x del y}=0$ e analogamente
${del f}/{del y}=2|y-1|$ quindi ${del f}/{del y del x}=0$ cioè $f_(xy)\(1,2)=f_(yx)\(1,2)$.
Urgh, hai ragione: ci mancano una ics e una ipsilon! Provvedo subito.
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EDIT: no, mi sbagliavo! Ho finito per cambiare completamente esempio.
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EDIT: no, mi sbagliavo! Ho finito per cambiare completamente esempio.
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