Domande di Analisi 1
Ciao a tutti, allora, oggi pomeriggio dovrò fare l'esame scritto di Analisi 1, quindi volevo farvi 2 domande (molto stupide).
1) Quando sto calcolando un limite per x che tende a 0, e, per esempio, ho un coseno che moltiplica una certa parentesi, al posto del coseno posso scriverci direttamente 1 oppure devo scriverci qualcos'altro?
2) Quando sto calcolando gli asintoti di una funzione, posso scrivere eventualmente al denominatore $0^(+)$ o $0^(-)$, oppure è sbagliato sintatticamente?
3) Quando sto studiando la convergenza-divergenza di un integrale improprio vicino a 0, il teorema del confronto (non dico quello del confronto asintotico, ma del confronto e basta) non lo posso usare, vero? Per esempio, se stavo studiando la convergenza a più infinito, potevo dimostrare che la mia funzione era da un certo punto in poi minore di un'altra il cui integrale convergeva, mentre se lo studio vicino a 0, non lo posso usare, giusto?
Grazie mille per le risposte.
1) Quando sto calcolando un limite per x che tende a 0, e, per esempio, ho un coseno che moltiplica una certa parentesi, al posto del coseno posso scriverci direttamente 1 oppure devo scriverci qualcos'altro?
2) Quando sto calcolando gli asintoti di una funzione, posso scrivere eventualmente al denominatore $0^(+)$ o $0^(-)$, oppure è sbagliato sintatticamente?
3) Quando sto studiando la convergenza-divergenza di un integrale improprio vicino a 0, il teorema del confronto (non dico quello del confronto asintotico, ma del confronto e basta) non lo posso usare, vero? Per esempio, se stavo studiando la convergenza a più infinito, potevo dimostrare che la mia funzione era da un certo punto in poi minore di un'altra il cui integrale convergeva, mentre se lo studio vicino a 0, non lo posso usare, giusto?
Grazie mille per le risposte.
Risposte
1) In generale, se in un limite costituito da prodotti di fattori alcuni di essi tendono ad un numero finito diverso da zero, puoi sempre sostituirli con il loro valore limite e concentrarti solo sui fattori che tendo a zero o ad infinito;
2) diciamo che non andrebbe fatto, però per "i tuoi calcoli" (quelli che fai a parte per verificare i risultati) puoi sempre scriverti queste cose per usare, in un certo senso, una regola del tipo $a/0^+=+\infty,\ a/0^-=-\infty, a>0$;
3) Perché? se vuoi vedere cosa fa $\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sin x}\ dx$ sapendo che $\sin x\le x$ ricavi che $1/{\sin x}\ge 1/x$ per cui $\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sin x}\ dx\ge\int_0^{\pi/2}\frac{1}{x}\ dx$ ed essendo il secondo integrale divergente, lo è anche il primo.
2) diciamo che non andrebbe fatto, però per "i tuoi calcoli" (quelli che fai a parte per verificare i risultati) puoi sempre scriverti queste cose per usare, in un certo senso, una regola del tipo $a/0^+=+\infty,\ a/0^-=-\infty, a>0$;
3) Perché? se vuoi vedere cosa fa $\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sin x}\ dx$ sapendo che $\sin x\le x$ ricavi che $1/{\sin x}\ge 1/x$ per cui $\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sin x}\ dx\ge\int_0^{\pi/2}\frac{1}{x}\ dx$ ed essendo il secondo integrale divergente, lo è anche il primo.
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