Domande banali (R- integrabilità, funzione limitata,...)
1) Ho visto che ci sono tre condizioni affinchè una funzione sia R - integrabile:
- f è continua in un isieme compatto
- f è monotona
- f è limitata e ammette un numero finito o numerabile di punti di discontinuità
Per le prime 2 non ci sono problemi.
Per la terza condizione invece mi sorge qualche dubbio.
Cioè se io ho una funzione che non è continua in un qualsiasi punto o più punti (limite sinistro e destro in quel punto non coincidono) allora è ugualmente integrabile?
Per funzione limitata si intende che per tutto il dominio, la funzione ammette codominio finito , giusto? (scusate se l'ho detto in modo grossolano). Quindi se il mio codominio per esempio è : $ [0, + infty] $ la funzione è illimitata e nello specifico superiormente, esatto?
E se ho una funzione non limitata ma con l'insieme derivato finito , allora è integrabile, no?
2) Se ho una funzione continua definita su di un compatto:
$f:[a,b] -> RR$
vale il teorema di weierstass. Però io mi chiedo,per definizione, il minimo e il massimo , sono relativi o assoluti?
Questo dubbio mi è sorto nel vedere esercizi dove la f(x) non compare, ovvero sappiamo quanto vale solo per un certo valore contenuto nell' intervallo chiuso e limitato.
Grazie di cuore a tutti coloro che mi illumineranno
-5 all'esame di calcolo 1 !
- f è continua in un isieme compatto
- f è monotona
- f è limitata e ammette un numero finito o numerabile di punti di discontinuità
Per le prime 2 non ci sono problemi.
Per la terza condizione invece mi sorge qualche dubbio.
Cioè se io ho una funzione che non è continua in un qualsiasi punto o più punti (limite sinistro e destro in quel punto non coincidono) allora è ugualmente integrabile?
Per funzione limitata si intende che per tutto il dominio, la funzione ammette codominio finito , giusto? (scusate se l'ho detto in modo grossolano). Quindi se il mio codominio per esempio è : $ [0, + infty] $ la funzione è illimitata e nello specifico superiormente, esatto?
E se ho una funzione non limitata ma con l'insieme derivato finito , allora è integrabile, no?
2) Se ho una funzione continua definita su di un compatto:
$f:[a,b] -> RR$
vale il teorema di weierstass. Però io mi chiedo,per definizione, il minimo e il massimo , sono relativi o assoluti?
Questo dubbio mi è sorto nel vedere esercizi dove la f(x) non compare, ovvero sappiamo quanto vale solo per un certo valore contenuto nell' intervallo chiuso e limitato.
Grazie di cuore a tutti coloro che mi illumineranno
-5 all'esame di calcolo 1 !
Risposte
"xunil1987":
I punti di accumulazione non sono soltanto gli estremi degli intervalli che compongono l'insieme. Ma La chiusura di tutti gli intervalli, che siano aperti o già chiusi. Nell'esempio che ti ho fatto quindi non devi considerare solo gli estremi ma anche tutto l'interno.
.
I punti di accumulazione sono dunque nel nostro esempio:
$[1,2)\uu(3,4)$ ?
I punti di accumulazione del nostro esempio sono$[1,2]∪[3,4]$.
Ho la sensazione che a causa mia si stia facendo un po' troppa confusione. Mi piacerebbe che qualcuno con le idee più chiare delle mie e con capacità migliori riesca a spiegartele più semplicemente.
Ho la sensazione che a causa mia si stia facendo un po' troppa confusione. Mi piacerebbe che qualcuno con le idee più chiare delle mie e con capacità migliori riesca a spiegartele più semplicemente.
No, ragazzi, attenzione, state sbagliando. Secondo la vostra interpretazione i punti di accumulazione di $[0, 1]$ quali sono? Se rispondete $0, 1$ siete in errore. I punti di accumulazione di $[0, 1]$ sono tutti i punti di $[0, 1]$.
[EDIT] oops! Vedo che xunil aveva già risolto la questione. Non me ne ero accorto, in effetti questo topic si è incasinato troppo. Non si stava parlando di integrabilità?
[EDIT] oops! Vedo che xunil aveva già risolto la questione. Non me ne ero accorto, in effetti questo topic si è incasinato troppo. Non si stava parlando di integrabilità?
"dissonance":
[EDIT] oops! Vedo che xunil aveva già risolto la questione. Non me ne ero accorto, in effetti questo topic si è incasinato troppo. Non si stava parlando di integrabilità?
Si si stava parlando di integrabilità, scusate della parentesi "punti di accumulazione".
Ok intanto mille grazie per i chiarimenti.
Ultimissima domanda:
E' possibile calcolare l'integrale di una funzione tramite la definizione di R- integrabilità e quindi avere una certa approssimazione attraverso le somme inferiori e superiori?
Spiegati meglio qwerty. Vorresti calcolare l'integrale definito di una funzione attraverso la definizione di R-integrabilità? Cioè calcolare le somme integrali superiori e inferiori per poi farne l'inf e il sup? Credo che questo procedimento si adotti solo come tecnica dimostrativa. Al livello pratico è sicuramente sempre applicabile il teorema fondamentale.
"xunil1987":
Spiegati meglio qwerty. Vorresti calcolare l'integrale definito di una funzione attraverso la definizione di R-integrabilità? Cioè calcolare le somme integrali superiori e inferiori per poi farne l'inf e il sup? Credo che questo procedimento si adotti solo come tecnica dimostrativa. Al livello pratico è sicuramente sempre applicabile il teorema fondamentale.
Si. Volevo sapere come si applica..sai farmi qualche esempio per caso? grazie
volevo dire un unltima cosa sui punti di accumulazione così per chiarire un po la situazione a qwerty. Dalla definizione di punti di accumulazione si deduce che non è detto che un punto di accumulazione non debba appartenere all'insieme, la cosa importante è che ogni intorno del punto x contenga punti dell'insieme distinti da x, perchè se contenesse x stesso sarebbe un punto isolato. Es. i punti di accumulazione di Q U [0,1] sono tutti i punti di [0,1] che contiene infiniti razionali. Sono stato chiaro?
Ora ragazzi volevo chiedervi una cosa riguardante le successioni di num. reali. Si dice che i limiti delle successioni si calcolao a partire dai lim di funzioni ma con ovvie modifiche, per esempio se la succ. a con n è definita mediante un'espressione esplicita della sua dipendenza da n ed esiste una funzione f:R+ U {o} $ -> R $ tale che a con n= f(n) è spesso sufficiente adoperare un cambiamento di variabile. Ma perchè considerano una funzione di quel tipo? ovvero, perchè considerano R+ U {0}, per quale motivo?
Ora ragazzi volevo chiedervi una cosa riguardante le successioni di num. reali. Si dice che i limiti delle successioni si calcolao a partire dai lim di funzioni ma con ovvie modifiche, per esempio se la succ. a con n è definita mediante un'espressione esplicita della sua dipendenza da n ed esiste una funzione f:R+ U {o} $ -> R $ tale che a con n= f(n) è spesso sufficiente adoperare un cambiamento di variabile. Ma perchè considerano una funzione di quel tipo? ovvero, perchè considerano R+ U {0}, per quale motivo?
Procediamo con ordine.
Qwerty come esempio di applicazione della definizione di R-integrabilità posso citarti qualche teorema. Vedi ad esempio il teorema di integrabilità delle funzioni continue. Lo trovi sicuramente sul testo di Analisi che stai usando. Io per esempio l'ho trovato sul Marcellini-Sbordone.
Alex hai detto bene quella prima precisazione sui punti di accumulazione ma hai sbagliato l'esempio $QQ \uu [0,1]$. Ripensa alla soluzione. Ti dò un suggerimento: $QQ$ è denso in $RR$.
Sulla seconda parte ti chiedo di essere più chiaro, non ho capito a cosa ti riferisci e qual è la domanda.
Qwerty come esempio di applicazione della definizione di R-integrabilità posso citarti qualche teorema. Vedi ad esempio il teorema di integrabilità delle funzioni continue. Lo trovi sicuramente sul testo di Analisi che stai usando. Io per esempio l'ho trovato sul Marcellini-Sbordone.
Alex hai detto bene quella prima precisazione sui punti di accumulazione ma hai sbagliato l'esempio $QQ \uu [0,1]$. Ripensa alla soluzione. Ti dò un suggerimento: $QQ$ è denso in $RR$.
Sulla seconda parte ti chiedo di essere più chiaro, non ho capito a cosa ti riferisci e qual è la domanda.
"xunil1987":
Procediamo con ordine.
Qwerty come esempio di applicazione della definizione di R-integrabilità posso citarti qualche teorema. Vedi ad esempio il teorema di integrabilità delle funzioni continue. Lo trovi sicuramente sul testo di Analisi che stai usando. Io per esempio l'ho trovato sul Marcellini-Sbordone.
Mi riferivo in realtà ad esercizi veri e propri.
Esempio banale:
$int_(-7)^(7) x^2 dx $
Al posto di calcolarlo come si fa di solito con gli integrali definiti...lo voglio calcolare con le somme inferiori e superiori. Si può fare?
"xunil1987":
Sulla seconda parte ti chiedo di essere più chiaro, non ho capito a cosa ti riferisci e qual è la domanda.
Penso si riferisca al dominio delle funzioni di successioni.
Secondo me , siccome le successioni sono definite per tutti i numeri naturali positivi , il dominio delle funzioni reali si deve prendere in $RR^+$ incluso lo 0
Perchè vorresti risolvere gli esercizi con la definizione quando hai una comodissima formula dal teorema fondamentale? Ad ogni modo non so come si possa procedere con la definizione in un esercizio del genere.
Quanto alla domanda di Alex continuo a non capire cosa significhi "calcolare i limiti di successione a partire dai limiti di funzione".
Quanto alla domanda di Alex continuo a non capire cosa significhi "calcolare i limiti di successione a partire dai limiti di funzione".
sisi lo so che Q è denso in R quindi l'insieme [0,1]contiene infiit razionali quindi tutti i punti di aderenza di questo insieme unito Q sono di accumulazione.
"xunil1987":
Perchè vorresti risolvere gli esercizi con la definizione quando hai una comodissima formula dal teorema fondamentale?
Beh, io non me lo pongo il problema....se lo pone in caso il mio prof !!
Intanto, inizia ad osservare che, per simmetria, $\int_{-7}^7 x^2 dx = 2\int_0^7 x^2 dx$.
Procediamo al calcolo di $\int_0^7 x^2 dx$.
Consideriamo la partizione $x_k = k \frac{7}{n}$, $k=0,\ldots,n$, che suddivide l'intervallo $[0,7]$ in $n$ sottointervalli di uguale ampiezza.
Le somme superiori relative a questa partizione sono
$S_n = \sum_{k=1}^n x_k^2 \frac{7}{n} = \frac{7^3}{n^3} \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{7^3}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
Ottieni dunque
$\lim_n S_n = \frac{7^3}{3}$.
Analogo risultato si ottiene per le somme inferiori.
Procediamo al calcolo di $\int_0^7 x^2 dx$.
Consideriamo la partizione $x_k = k \frac{7}{n}$, $k=0,\ldots,n$, che suddivide l'intervallo $[0,7]$ in $n$ sottointervalli di uguale ampiezza.
Le somme superiori relative a questa partizione sono
$S_n = \sum_{k=1}^n x_k^2 \frac{7}{n} = \frac{7^3}{n^3} \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{7^3}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
Ottieni dunque
$\lim_n S_n = \frac{7^3}{3}$.
Analogo risultato si ottiene per le somme inferiori.
"Rigel":
Le somme superiori relative a questa partizione sono
$S_n = \sum_{k=1}^n x_k^2 \frac{7}{n} = \frac{7^3}{n^3} \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{7^3}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
da dove esce fuori $frac{7^3}{n^3} $?
Dal fatto che $x_k = k \frac{7}{n}$, quindi
$\sum_{k=1}^{n} x_k^2 \frac{7}{n} = \sum_{k=1}^{n} k^2 (\frac{7}{n})^2 \frac{7}{n}$.
$\sum_{k=1}^{n} x_k^2 \frac{7}{n} = \sum_{k=1}^{n} k^2 (\frac{7}{n})^2 \frac{7}{n}$.
"Rigel":
$S_n = \sum_{k=1}^n x_k^2 \frac{7}{n} = \frac{7^3}{n^3} \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{7^3}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
.
Mentre $frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ?
E' la somma dei primi $n$ quadrati, $\sum_{k=1}^n k^2$.
Si può dimostrare in molti modi, ad esempio per induzione.
Si può dimostrare in molti modi, ad esempio per induzione.
"Rigel":
E' la somma dei primi $n$ quadrati, $\sum_{k=1}^n k^2$.
Si può dimostrare in molti modi, ad esempio per induzione.
Ok ma perchè devo moltiplicarlo a $frac{7}{n^3}$ ?
Ah ho capito...
Praticamente:
$x_k = frac{7}{n}$
$(x_k)^2 = frac{7^2}{n^2}$
La serie è $sum_(k = 1)^( n) ((x_k)^(2)) * frac{7}{n}$ cioè la moltiplicazione della base e dell'altezza dei rettangoli, no?
quindi a $frac{7^3}{n^3}$ devo moltiplicare $frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ perchè ho il termine $(x_k)^2$
giusto?
Invece se mi trovavo al posto di $x^2$ un $x^3$ dovevo moltiplicare per $ (frac {n(n+1)}{2})^2$
Esatto?
Sì, esatto.
Nel caso di $x^3$ però ti saresti ritrovato $\frac{7^4 }{n^4}$ davanti alla sommatoria dei cubi.
Nel caso di $x^3$ però ti saresti ritrovato $\frac{7^4 }{n^4}$ davanti alla sommatoria dei cubi.
"Rigel":
Sì, esatto.
Nel caso di $x^3$ però ti saresti ritrovato $\frac{7^4 }{n^4}$ davanti alla sommatoria dei cubi.
Sisi certo....quindi devo moltiplicare sempre la formula ricorsiva ( si chiama così, giusto? ) di $x_k$ , esatto?
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