Domande banali (R- integrabilità, funzione limitata,...)
1) Ho visto che ci sono tre condizioni affinchè una funzione sia R - integrabile:
- f è continua in un isieme compatto
- f è monotona
- f è limitata e ammette un numero finito o numerabile di punti di discontinuità
Per le prime 2 non ci sono problemi.
Per la terza condizione invece mi sorge qualche dubbio.
Cioè se io ho una funzione che non è continua in un qualsiasi punto o più punti (limite sinistro e destro in quel punto non coincidono) allora è ugualmente integrabile?
Per funzione limitata si intende che per tutto il dominio, la funzione ammette codominio finito , giusto? (scusate se l'ho detto in modo grossolano). Quindi se il mio codominio per esempio è : $ [0, + infty] $ la funzione è illimitata e nello specifico superiormente, esatto?
E se ho una funzione non limitata ma con l'insieme derivato finito , allora è integrabile, no?
2) Se ho una funzione continua definita su di un compatto:
$f:[a,b] -> RR$
vale il teorema di weierstass. Però io mi chiedo,per definizione, il minimo e il massimo , sono relativi o assoluti?
Questo dubbio mi è sorto nel vedere esercizi dove la f(x) non compare, ovvero sappiamo quanto vale solo per un certo valore contenuto nell' intervallo chiuso e limitato.
Grazie di cuore a tutti coloro che mi illumineranno
-5 all'esame di calcolo 1 !
- f è continua in un isieme compatto
- f è monotona
- f è limitata e ammette un numero finito o numerabile di punti di discontinuità
Per le prime 2 non ci sono problemi.
Per la terza condizione invece mi sorge qualche dubbio.
Cioè se io ho una funzione che non è continua in un qualsiasi punto o più punti (limite sinistro e destro in quel punto non coincidono) allora è ugualmente integrabile?
Per funzione limitata si intende che per tutto il dominio, la funzione ammette codominio finito , giusto? (scusate se l'ho detto in modo grossolano). Quindi se il mio codominio per esempio è : $ [0, + infty] $ la funzione è illimitata e nello specifico superiormente, esatto?
E se ho una funzione non limitata ma con l'insieme derivato finito , allora è integrabile, no?
2) Se ho una funzione continua definita su di un compatto:
$f:[a,b] -> RR$
vale il teorema di weierstass. Però io mi chiedo,per definizione, il minimo e il massimo , sono relativi o assoluti?
Questo dubbio mi è sorto nel vedere esercizi dove la f(x) non compare, ovvero sappiamo quanto vale solo per un certo valore contenuto nell' intervallo chiuso e limitato.
Grazie di cuore a tutti coloro che mi illumineranno
-5 all'esame di calcolo 1 !
Risposte
1) Ti stai esprimendo male. Una funzione $f: A \to RR$ si dice limitata se esiste $M>=0$ tale che $|f(x)|<=M$ per ogni $x \in A$. "Codominio finito" è un'altra cosa completamente. E che intendi per "insieme derivato"?
2) Assoluti.
2) Assoluti.
"dissonance":
1) Ti stai esprimendo male. Una funzione $f: A \to RR$ si dice limitata se esiste $M>=0$ tale che $|f(x)|<=M$ per ogni $x \in A$. "Codominio finito" è un'altra cosa completamente. E che intendi per "insieme derivato"?
2) Assoluti.
Intanto mi scuso se ho aperto un altro topic identico ma internet mi fa scherzetti e non avevo capito che la mia domanda era stata correttamente pubblicata.
1) Per insieme derivato intendo l'insieme che contiene tutti i punti di accumulazione.
2) Ok . Quindi se ho un quesito che mi chiede se in un insieme compatto ho un minimo e un massimo assoluto posso dire vero!
Invece se ho un insieme semiaperto? Tipo :
$[a,b)$ posso dire qualcosa con il teorema di weierstrass? Cioè contiene o il minimo o il massimo assoluto o non posso dire proprio nulla?
"qwerty90":
Invece se ho un insieme semiaperto? Tipo :
$[a,b)$ posso dire qualcosa con il teorema di weierstrass? Cioè contiene o il minimo o il massimo assoluto o non posso dire proprio nulla?
Esempio: [tex]$f(x):=\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$[/tex] in [tex]$]0,1]$[/tex]...
"gugo82":
[quote="qwerty90"]Invece se ho un insieme semiaperto? Tipo :
$[a,b)$ posso dire qualcosa con il teorema di weierstrass? Cioè contiene o il minimo o il massimo assoluto o non posso dire proprio nulla?
Esempio: [tex]$f(x):=\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$[/tex] in [tex]$]0,1]$[/tex]...[/quote]
mmm.... non credo si possa calcolare il massimo e il minimo di quella funzione....perchè il codominio è $(- infty, + infty) $no?
Esatto.
Quindi Weierstrass che fine fa in un intervallo semiaperto?
Quindi Weierstrass che fine fa in un intervallo semiaperto?
"gugo82":
Esatto.
Quindi Weierstrass che fine fa in un intervallo semiaperto?
E' andato a farsi benedire
grazie mille per i chiarimenti!
Ci sarebbe da capire che cosa intendi con "funzione non limitata ma con insieme derivato finito". Ha un senso ma dubito sia quello che intendi tu: ad esempio la funzione definita in $ZZ$ (visto come sottoinsieme di $RR$) a valori in $RR$ data da $f(n)=n$ è così. Incidentalmente, queste funzioni sono integrabili e il proprio integrale fa (ovviamente) $0$, ma sicuramente tu intendi altro.
"dissonance":
Ci sarebbe da capire che cosa intendi con "funzione non limitata ma con insieme derivato finito". Ha un senso ma dubito sia quello che intendi tu: ad esempio la funzione definita in $ZZ$ (visto come sottoinsieme di $RR$) a valori in $RR$ data da $f(n)=n$ è così. Incidentalmente, queste funzioni sono integrabili e il proprio integrale fa (ovviamente) $0$, ma sicuramente tu intendi altro.
Io dicevo che:
f è integrabile se l'insieme I dei punti di discontinuità ha un numero finito di punti di accumulazione.E se anche il "derivato" di I, ovvero l'insieme dei suoi punti di accumulazione, è infinito, si può reiterare il procedimento fino a quando si trova finito, allora f sarà integrabile.
No, no. Mi sa che non hai chiaro il concetto di "punto di accumulazione". Che cos'è un punto di accumulazione?
"dissonance":
No, no. Mi sa che non hai chiaro il concetto di "punto di accumulazione". Che cos'è un punto di accumulazione?
$x_0$ è un punto di accumulazione di un insieme se in un suo qualsiasi intorno posso trovare infiniti elementi (tranne $x_0$) dell'insieme stesso.
P.S.: vado a letto..leggerò domani una tua eventuale risposta!
grazie
Forse in uno spazio metrico questa definizione è equivalente? Io mi ricordo che la definizione che ho studiato è questa
$x_{0}$ di accumulazione per $A$ se $\forall I(x_{0}), I(x_{0})\nn (A -{x_{0}})!=\varphi$
Che non comporta che quella intersezione sia un insieme infinito. Anche se in questo momento non mi vengono in mente controesempi, se ce ne sono.
$x_{0}$ di accumulazione per $A$ se $\forall I(x_{0}), I(x_{0})\nn (A -{x_{0}})!=\varphi$
Che non comporta che quella intersezione sia un insieme infinito. Anche se in questo momento non mi vengono in mente controesempi, se ce ne sono.
La definizione che conosco io è quella di xunil (a patto che per $I(x_0)$ intenda "intorno di $x_0$", come credo). Ma è ampiamente equivalente a quella di qwerty nel caso della retta reale [size=75](*)[/size].
Resta il discorso sulle discontinuità e l'integrabilità delle funzioni. Qui i punti di accumulazione non c'entrano davvero nulla.
________________________________________
(*) Nota per xunil: In generale non è detto che un intorno di un punto di accumulazione di $A$ contenga infiniti punti di $A$. Ad esempio prendi lo spazio topologico $X={a, b, c}$ con la topologia $tau={\emptyset, {a}, {a, b}, {a, b, c}}$. Chiama $A={a, b}$. Allora $b$ è un punto di accumulazione per $A$ perché i suoi intorni sono solo ${a, b}$ e ${a, b, c}$. Ma chiaramente nessuno di essi contiene infiniti punti di $A$.
Il fatto che ogni intorno di un punto di accumulazione di $A$ contiene infiniti punti di $A$ è vero in uno spazio topologico $"T"1$ (ovvero uno spazio in cui i singoletti sono chiusi).
Resta il discorso sulle discontinuità e l'integrabilità delle funzioni. Qui i punti di accumulazione non c'entrano davvero nulla.
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(*) Nota per xunil: In generale non è detto che un intorno di un punto di accumulazione di $A$ contenga infiniti punti di $A$. Ad esempio prendi lo spazio topologico $X={a, b, c}$ con la topologia $tau={\emptyset, {a}, {a, b}, {a, b, c}}$. Chiama $A={a, b}$. Allora $b$ è un punto di accumulazione per $A$ perché i suoi intorni sono solo ${a, b}$ e ${a, b, c}$. Ma chiaramente nessuno di essi contiene infiniti punti di $A$.
Il fatto che ogni intorno di un punto di accumulazione di $A$ contiene infiniti punti di $A$ è vero in uno spazio topologico $"T"1$ (ovvero uno spazio in cui i singoletti sono chiusi).
"dissonance":
Resta il discorso sulle discontinuità e l'integrabilità delle funzioni. Qui i punti di accumulazione non c'entrano davvero nulla.
Avevo letto così...non so che dirti. Però mi fido di te
Nel mentre che parliamo di punti di accumulazione, posso farti alcune domande?
- Per trovare i punti di accumulazione nelle successioni faccio il limite che tende a $+infty$ della successione e il valore che trovo è il punto di accumulazione stesso. Ma se la successione non è definita in un punto? Anche quello lì è un punto di accumulazione? Per esempio una successione che presenta una frazione...il valore che annulla il denominatore è un punto di accumulazione?
- Per trovare i punti di accumulazione in una funzione reale a variabile reale invece che cosa devo fare?
Perchè anche se ho ben capito la definizione di punto di accumulazione non la sò applicare alla pratica
Grazie
@dissonance: Chiarissimo. Il discorso vale almeno per ogni topologia finita. In effetti avevo immaginato che sulla retta reale, invece, le due definizioni potessero essere equivalenti. Ovviamente con $I(x_{0})$ intendo un qualunque intorno del punto $x_{0}$
@qwerty90: Per punti di accumulazione di una successione si intendono i punti di accumulazione del codominio. Cosa intendi per "non definita in un punto"? Provo a capire. Ti riferisci ad esempio alla successione $1/n$ che ha come punto di accumulazione lo zero? Forse hai frainteso il fatto che un punto di accumulazione debba appartenere all'insieme. Non è cosi.
Inoltre non è detto che questi punti si trovino soltanto facendo il limite. Prendi ad esempio:
$a_{n}=\{(1/n, se, n, pari),(1, se, n, dispari):}$
Per le funzioni non ricordo bene ma mi pare che il discorso sia analogo. Devi calcolare l'insieme codominio e stabilire i suoi punti di accumulazione.
@qwerty90: Per punti di accumulazione di una successione si intendono i punti di accumulazione del codominio. Cosa intendi per "non definita in un punto"? Provo a capire. Ti riferisci ad esempio alla successione $1/n$ che ha come punto di accumulazione lo zero? Forse hai frainteso il fatto che un punto di accumulazione debba appartenere all'insieme. Non è cosi.
Inoltre non è detto che questi punti si trovino soltanto facendo il limite. Prendi ad esempio:
$a_{n}=\{(1/n, se, n, pari),(1, se, n, dispari):}$
Per le funzioni non ricordo bene ma mi pare che il discorso sia analogo. Devi calcolare l'insieme codominio e stabilire i suoi punti di accumulazione.
"xunil1987":
@qwerty90: Per punti di accumulazione di una successione si intendono i punti di accumulazione del codominio. Cosa intendi per "non definita in un punto"?
Non definita in un punto indico una successione o una funzione qualsiasi che si presenta per esempio sotto forma di frazione ed è indeterminata per i valori che annullano il denominatore.
Ti riferisci ad esempio alla successione $1/n$ che ha come punto di accumulazione lo zero? Forse hai frainteso il fatto che un punto di accumulazione debba appartenere all'insieme. Non è cosi.
Spiegati meglio se puoi, perchè non capisco. Cioè tu mi dici di non guardare il dominio ma il codominio. Ma i punti di accumulazione non sono quei punti dove la funzione o successione si addensa, si "riempie di punti" in un suo intorno, ma quel punto di accumulazione non lo raggiungono mai??
Inoltre non è detto che questi punti si trovino soltanto facendo il limite. Prendi ad esempio:
$a_{n}=\{(1/n, se, n, pari),(1, se, n, dispari):}$
Quali altri modi ci sono? L'esempio non mi è chiaro.
Per le funzioni non ricordo bene ma mi pare che il discorso sia analogo. Devi calcolare l'insieme codominio e stabilire i suoi punti di accumulazione.
Praticamente devo vedere gli estremi dell'intervallo del codominio trovato, quelli saranno i punti di accumulazione?
Ehy ragazzi io sono al secondo anno di ing. informatica ma ancora devo dare analisi 1, il 18 febbraio, mi direste perfavore che libro usate di analisi? perchè molte cose che ho studiato io sono leggermente diverse. Per esempio nel mio libro dopo aver discusso degli insiemi aperti e chiusi parla di punti di aderenza per poi definire quelli di accumulazione che in parole povere non sono altro che punti di aderenza non appartenenti al dominio, o no?
Comunque la definizione è questa nel mio libro:
Un punto $ x0 in R $ si dice di accumulazione per A se ogni intorno U di x0 contiene punti di A distinti da x0.
Poi c'è la seguente proposizione con la dimostrazione:
Un punto x0 è di accumulazione per un sottoinsieme A di R se, e soltanto se, ogni intorno di x0 contiene infiniti punti di A.
Da ciò segue che Ogni sottoinsieme limitato e infinito A di R ammette un punto di accumulazione.
Sono solo queste le definizioni che mi da ed entrambe parlano di punti di accumulazione per il dominio.
@QWERTY90 : siamo vicino di casa, io sono di Agrigento....XD
Comunque la definizione è questa nel mio libro:
Un punto $ x0 in R $ si dice di accumulazione per A se ogni intorno U di x0 contiene punti di A distinti da x0.
Poi c'è la seguente proposizione con la dimostrazione:
Un punto x0 è di accumulazione per un sottoinsieme A di R se, e soltanto se, ogni intorno di x0 contiene infiniti punti di A.
Da ciò segue che Ogni sottoinsieme limitato e infinito A di R ammette un punto di accumulazione.
Sono solo queste le definizioni che mi da ed entrambe parlano di punti di accumulazione per il dominio.
@QWERTY90 : siamo vicino di casa, io sono di Agrigento....XD
I punti di accumulazione di una successione sono i punti di accumulazione del suo codominio.
Questa situazione non altera la definizione. Ciò che devi fare è semplicemente calcolare il codominio a partire dal dominio
Avevo fatto quell'esempio perchè avevo capito male i tuoi dubbi. In ogni caso non è vero che la successione non raggiunge mai un suo punto di accumulazione $x_{0}$. Il fatto che nella definizione si richieda che infiniti punti distinti da esso siano in $I(x_{0}) \nn A-{x_{0}}$ non significa che lo stesso $x_{0}$ non possa essere immagine di qualche intero $k$ cioè che esista $k \in NN$ tale che $x_{0}=a_{k}$.
In quell'altro esempio che ho scritto come vedi la successione non ammette limite, ma il codominio è l'insieme ${1}\uu{1/(2n) | n \in NN}$ e un suo punto di accumulazione è $0$. Il modo per calcolare i punti di accumulazione consiste nell'individuare il codominio e poi calcolarne il derivato.
Per quanto riguarda le funzioni invece:
Oppure più in generale vedere gli estremi di tutti gli intervalli lo compongono. Se ad esempio il codominio risulta essere $[1,2)\uu(3,4)$?
Non definita in un punto indico una successione o una funzione qualsiasi che si presenta per esempio sotto forma di frazione ed è indeterminata per i valori che annullano il denominatore.
Questa situazione non altera la definizione. Ciò che devi fare è semplicemente calcolare il codominio a partire dal dominio
Spiegati meglio se puoi, perchè non capisco. Cioè tu mi dici di non guardare il dominio ma il codominio. Ma i punti di accumulazione non sono quei punti dove la funzione o successione si addensa, si "riempie di punti" in un suo intorno, ma quel punto di accumulazione non lo raggiungono mai??
Avevo fatto quell'esempio perchè avevo capito male i tuoi dubbi. In ogni caso non è vero che la successione non raggiunge mai un suo punto di accumulazione $x_{0}$. Il fatto che nella definizione si richieda che infiniti punti distinti da esso siano in $I(x_{0}) \nn A-{x_{0}}$ non significa che lo stesso $x_{0}$ non possa essere immagine di qualche intero $k$ cioè che esista $k \in NN$ tale che $x_{0}=a_{k}$.
Quali altri modi ci sono? L'esempio non mi è chiaro.
In quell'altro esempio che ho scritto come vedi la successione non ammette limite, ma il codominio è l'insieme ${1}\uu{1/(2n) | n \in NN}$ e un suo punto di accumulazione è $0$. Il modo per calcolare i punti di accumulazione consiste nell'individuare il codominio e poi calcolarne il derivato.
Per quanto riguarda le funzioni invece:
Praticamente devo vedere gli estremi dell'intervallo del codominio trovato, quelli saranno i punti di accumulazione?
Oppure più in generale vedere gli estremi di tutti gli intervalli lo compongono. Se ad esempio il codominio risulta essere $[1,2)\uu(3,4)$?
quindi per calcolare i punti di acc. del codominio, nel caso di una successione, devo fare la derivata? di che cosa?
scusa ma sono un poco confuso.
scusa ma sono un poco confuso.
"xunil1987":
Oppure più in generale vedere gli estremi di tutti gli intervalli lo compongono. Se ad esempio il codominio risulta essere $[1,2)\uu(3,4)$?
Allora i punti di accumulazione saranno 4 e coincideranno con gli estremi degli intervalli, no?
@ Alex... insieme derivato e non derivata!
come libro puoi usare Analisi matematica di Enrico Giusti o Analisi matematica di Pagani - Salsa
"qwerty90":
Allora i punti di accumulazione saranno 4 e coincideranno con gli estremi degli intervalli, no?
I punti di accumulazione non sono soltanto gli estremi degli intervalli che compongono l'insieme. Ma La chiusura di tutti gli intervalli, che siano aperti o già chiusi. Nell'esempio che ti ho fatto quindi non devi considerare solo gli estremi ma anche tutto l'interno.
Ti chiedo scusa per essere stato poco chiaro prima. Ho anche fatto un errore. Infatti non andava bene dire che il derivato di un intervallo consiste nei suoi estremi.
AlexlovesUSA si dice derivato di un insieme $A$ e si indica con $delA$ l'insieme dei punti di accumulazione.
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