Domanda veloce su un caso particolare di studio di funzione
La funzione $f(x)=(x^3+2)/(x^2+1)$ non esiste nei punti $+-1$ ma disegnandone il grafico essa esiste in quei punti. Perchè?
Inoltre, esiste un asintoto $y=x$ per $x rarr +-infty$ ma nel punto $x=2$ la funzione sta esattamente sull'asintoto e poi lo supera. Ma allora a cosa serve quest'asintoto? Come posso capire, in un'altra funzione, se l'asintoto viene intersecato? Non ho nemmeno controllato la convessità e la concavità perchè sono già evidenti guardando crescenza e decrescenza. La derivata è
$f'(x) = (x(x+1)(x^2+x+4))/(x^2+1)^2$. Qualsiasi chiarimento, anche parziale, è molto gradito
Inoltre, esiste un asintoto $y=x$ per $x rarr +-infty$ ma nel punto $x=2$ la funzione sta esattamente sull'asintoto e poi lo supera. Ma allora a cosa serve quest'asintoto? Come posso capire, in un'altra funzione, se l'asintoto viene intersecato? Non ho nemmeno controllato la convessità e la concavità perchè sono già evidenti guardando crescenza e decrescenza. La derivata è
$f'(x) = (x(x+1)(x^2+x+4))/(x^2+1)^2$. Qualsiasi chiarimento, anche parziale, è molto gradito
Risposte
Il denominatore in quanto somma di quadrati non si annulla mai. Sarebbero da escludersi i punti +1 e -1 nel caso il denominatore fosse $x^2-1$
"Megan00b":
Il denominatore in quanto somma di quadrati non si annulla mai. Sarebbero da escludersi i punti +1 e -1 nel caso il denominatore fosse $x^2-1$
D'OH, cheffiguradimm***a. Sorry. Comunque se qualcuno può chiarire il secondo punto...
Non c'è <> nel fatto che una funzione intersechi o sia tangente ad un suo asintoto. L'asintoto rappresenta un comportamento (detto appunto asintotico) che riguarda un estremo del dominio ($+-infty$), ovvero il fatto che la funzione per valori nel dominio molto grandi positivamente o negativamente è approssimata da una retta. Tutto qui.
il significato dell'asintoto è, in generale, quello di "tangente all'infinito", cioè una retta che approssima all'infinito il grafico di una funzione.
quindi il grafico, nel finito, può intersecare l'asintoto anche infinite volte, ma da un certo punto in poi, cioè nell'intorno dell'infinito, deve essere sempre più vicina (letteralmente "senza toccarlo") al grafico della funzione.
nel tuo caso particolare nell'intorno di "più" infinito la curva (grafico della funzione) si avvicina alla retta (asintoto) rimanendo però al di sotto di essa.
per convincertene, se chiami $g(x)=x$ la funzione che rappresenta l'asintoto, studia il segno di $f(x)-g(x)=(x^3+2)/(x^2+1)-x=(2-x)/(x^2+1)$.
infatti il segno di questa differenza è negativo nell'intorno di "più" infinito, e il limite $lim_(x->+oo)\f(x)-g(x)\=0^-$
più volte ho tirato fuori il discorso che, almeno per quanto riguarda le definizioni che mi è capitato di leggere nei testi scolastici, la definizione di asintoto (orizzontale o obliquo) contraddice l'etimologia del termine, perché anche per "funzioni atipiche" si parla di asintoto quando "tornano i conti" dei limiti per la ricerca di asintoti nonostante ci siano "attraversamenti tra i grafici ... anche all'infinito", vedi ad esempio la funzione $h(x)=(senx)/x$, il cui limite all'infinito è zero, e l'asse x si considera asintoto orizzontale anche se non dovrebbe esserlo secondo l'etimologia del termine.
spero che, con tutto questo sproloquio, ho almeno chiarito i tuoi dubbi. ciao.
quindi il grafico, nel finito, può intersecare l'asintoto anche infinite volte, ma da un certo punto in poi, cioè nell'intorno dell'infinito, deve essere sempre più vicina (letteralmente "senza toccarlo") al grafico della funzione.
nel tuo caso particolare nell'intorno di "più" infinito la curva (grafico della funzione) si avvicina alla retta (asintoto) rimanendo però al di sotto di essa.
per convincertene, se chiami $g(x)=x$ la funzione che rappresenta l'asintoto, studia il segno di $f(x)-g(x)=(x^3+2)/(x^2+1)-x=(2-x)/(x^2+1)$.
infatti il segno di questa differenza è negativo nell'intorno di "più" infinito, e il limite $lim_(x->+oo)\f(x)-g(x)\=0^-$
più volte ho tirato fuori il discorso che, almeno per quanto riguarda le definizioni che mi è capitato di leggere nei testi scolastici, la definizione di asintoto (orizzontale o obliquo) contraddice l'etimologia del termine, perché anche per "funzioni atipiche" si parla di asintoto quando "tornano i conti" dei limiti per la ricerca di asintoti nonostante ci siano "attraversamenti tra i grafici ... anche all'infinito", vedi ad esempio la funzione $h(x)=(senx)/x$, il cui limite all'infinito è zero, e l'asse x si considera asintoto orizzontale anche se non dovrebbe esserlo secondo l'etimologia del termine.
spero che, con tutto questo sproloquio, ho almeno chiarito i tuoi dubbi. ciao.
"Megan00b":
Non c'è <> nel fatto che una funzione intersechi o sia tangente ad un suo asintoto. L'asintoto rappresenta un comportamento (detto appunto asintotico) che riguarda un estremo del dominio ($+-infty$), ovvero il fatto che la funzione per valori nel dominio molto grandi positivamente o negativamente è approssimata da una retta. Tutto qui.
Solitamente però gli asintoti sono utili per capire la tendenza di un ramo del grafico. Se possono essere intersecati non ha molto senso trovarli.Stimerei megli la tendenza trovando una decina di punti del grafico.
"adaBTTLS":
il significato dell'asintoto è, in generale, quello di "tangente all'infinito", cioè una retta che approssima all'infinito il grafico di una funzione.
quindi il grafico, nel finito, può intersecare l'asintoto anche infinite volte, ma da un certo punto in poi, cioè nell'intorno dell'infinito, deve essere sempre più vicina (letteralmente "senza toccarlo") al grafico della funzione.
nel tuo caso particolare nell'intorno di "più" infinito la curva (grafico della funzione) si avvicina alla retta (asintoto) rimanendo però al di sotto di essa.
per convincertene, se chiami $g(x)=x$ la funzione che rappresenta l'asintoto, studia il segno di $f(x)-g(x)=(x^3+2)/(x^2+1)-x=(2-x)/(x^2+1)$.
infatti il segno di questa differenza è negativo nell'intorno di "più" infinito, e il limite $lim_(x->+oo)\f(x)-g(x)\=0^-$
più volte ho tirato fuori il discorso che, almeno per quanto riguarda le definizioni che mi è capitato di leggere nei testi scolastici, la definizione di asintoto (orizzontale o obliquo) contraddice l'etimologia del termine, perché anche per "funzioni atipiche" si parla di asintoto quando "tornano i conti" dei limiti per la ricerca di asintoti nonostante ci siano "attraversamenti tra i grafici ... anche all'infinito", vedi ad esempio la funzione $h(x)=(senx)/x$, il cui limite all'infinito è zero, e l'asse x si considera asintoto orizzontale anche se non dovrebbe esserlo secondo l'etimologia del termine.
spero che, con tutto questo sproloquio, ho almeno chiarito i tuoi dubbi. ciao.
Grazie dei chiarimenti, mi rimane soltanto un dubbio, in questo caso specifico, se io non avessi avuto il grafico nelle soluzioni, come potevo capire che per x>2 il grafico stava sotto l'asintoto? Io con i dati che avevo in mano l'avrei fatto restare sopra. Magari in questo caso poteva saltare all'occhio che f(2)=2 ma non era così scontato con una funzione più complessa.
io l'ho fatto con lo studio del segno di quello che ho chiamato $f(x)-g(x)$. se nell'intorno di più infinito il segno è "+", vuol dire che f>g, e quindi il grafico è al di sopra...
"adaBTTLS":
il significato dell'asintoto è, in generale, quello di "tangente all'infinito", cioè una retta che approssima all'infinito il grafico di una funzione.
quindi il grafico, nel finito, può intersecare l'asintoto anche infinite volte, ma da un certo punto in poi, cioè nell'intorno dell'infinito, deve essere sempre più vicina (letteralmente "senza toccarlo") al grafico della funzione. [...]
più volte ho tirato fuori il discorso che, almeno per quanto riguarda le definizioni che mi è capitato di leggere nei testi scolastici, la definizione di asintoto (orizzontale o obliquo) contraddice l'etimologia del termine, perché anche per "funzioni atipiche" si parla di asintoto quando "tornano i conti" dei limiti per la ricerca di asintoti nonostante ci siano "attraversamenti tra i grafici ... anche all'infinito", vedi ad esempio la funzione $h(x)=(senx)/x$, il cui limite all'infinito è zero, e l'asse x si considera asintoto orizzontale anche se non dovrebbe esserlo secondo l'etimologia del termine.
Non capisco quello che intendi adaBTTLS...
La definizione di asintoto che trovo usualmente sui libri di Analisi è la seguente:
"Una retta di equazione $y=ax+b$ si dice asintoto per il diagramma della funzione $f(x)$ in $+oo$ [risp. $-oo$] se e solo se risulta $lim_(x \to +oo) |f(x)-(ax+b)|=0$ [risp. $lim_(x \to -oo) |f(x)-(ax+b)|=0$]".
Quindi, affinché una retta sia considerata asintoto, basta che il grafico della funzione si "avvicini sempre più" alla retta; non vedo perchè imporre restrizioni sul numero di intersezioni tra il diagramma di $f$ ed il suo asintoto...
Se è solo per una questione d'etimo, non mi pare importante (in Matematica siamo pieni di "residui" d'espressioni arcaiche).
sì, infatti, mi confermi che anche nei testi universitari si ha lo stesso concetto di asintoto.
io mi riferivo all'etimologia del termine $alpha - sigma upsilon nu - tau o tau o$, (mi pare almeno che sia così, i primi due termini sono sicuramente dal greco, il terzo viene dal verbo latino "tango" certamente, ma non ricordo se ha questa grafia in greco) cioè "non-con-tocco", cioè il grafico della funzione si avvicina indefinitamente all'asintoto, senza però toccarlo. e questo, mentre si accorda perfettamente con la maggior parte degli asintoti che si "incontrano", è in contrasto con la definizione che permette di dire che anche molte funzioni "anomale" come $(sinx)/x$ hanno asintoti ...
è questo che intendevo. spero di aver chiarito.
io mi riferivo all'etimologia del termine $alpha - sigma upsilon nu - tau o tau o$, (mi pare almeno che sia così, i primi due termini sono sicuramente dal greco, il terzo viene dal verbo latino "tango" certamente, ma non ricordo se ha questa grafia in greco) cioè "non-con-tocco", cioè il grafico della funzione si avvicina indefinitamente all'asintoto, senza però toccarlo. e questo, mentre si accorda perfettamente con la maggior parte degli asintoti che si "incontrano", è in contrasto con la definizione che permette di dire che anche molte funzioni "anomale" come $(sinx)/x$ hanno asintoti ...
è questo che intendevo. spero di aver chiarito.
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