Domanda veloce su seno e coseno per piccoli angoli
La mia domanda è velocissima, ma la risposta potrebbe risolvermi svariati dubbi su una buona parte del programma di fisica.
mi trovo ad avere un integrale che (tra molte altre cose che però hanno a che fare con la fisica) contiene una cosa del tipo:
$ d T cos T $
ovviamente anche in fisica la d sta ad indicare una parte infinitesima.
la mia domanda è: quella cosa che ho scritto sopra, per angoli molto piccoli può essere approssimata con $senx$ ?
l'idea arriva dal fatto che per piccoli angoli la $tg x$ posso semplificarla a $x$. Ora potrei fare il passaggio inverso e da $x$ arrivare a $(senx)/cosx$. il coseno al denominatore lo semplifico poi a destra.
é corretto il ragionamento?
mi trovo ad avere un integrale che (tra molte altre cose che però hanno a che fare con la fisica) contiene una cosa del tipo:
$ d T cos T $
ovviamente anche in fisica la d sta ad indicare una parte infinitesima.
la mia domanda è: quella cosa che ho scritto sopra, per angoli molto piccoli può essere approssimata con $senx$ ?
l'idea arriva dal fatto che per piccoli angoli la $tg x$ posso semplificarla a $x$. Ora potrei fare il passaggio inverso e da $x$ arrivare a $(senx)/cosx$. il coseno al denominatore lo semplifico poi a destra.
é corretto il ragionamento?
Risposte
Non credo di aver ben compreso cosa tu intenda per "angoli molto piccoli".
Il fatto che [tex]\tan(x)[/tex] si possa approssimare ad [tex]x[/tex] si può fare per [tex]x[/tex] sufficientemente piccolo, usando che [tex]\tan(x)\sim x\,\,\,\,\mathrm{per}\,\,\,x\to 0[/tex]. La medesima cosa accade per [tex]\sin(x)\sim x,\,\,\, x\to 0[/tex].
Ma [tex]\cos(x)\to 1[/tex] quando [tex]x\to 0[/tex], quindi non vedo cosa c'entri il seno.
Il fatto che [tex]\tan(x)[/tex] si possa approssimare ad [tex]x[/tex] si può fare per [tex]x[/tex] sufficientemente piccolo, usando che [tex]\tan(x)\sim x\,\,\,\,\mathrm{per}\,\,\,x\to 0[/tex]. La medesima cosa accade per [tex]\sin(x)\sim x,\,\,\, x\to 0[/tex].
Ma [tex]\cos(x)\to 1[/tex] quando [tex]x\to 0[/tex], quindi non vedo cosa c'entri il seno.
sostanzialmente, sapendo che T è molto piccolo in:
dTcosT io sostituisco e scrivo
d tgT cosT
la tangente è $(sent)/cost$, semplifico il coseno e mi resta senT...
in fisica per angoli molto piccoli si approssima la tangente di T a T se non sbaglio.......
dTcosT io sostituisco e scrivo
d tgT cosT
la tangente è $(sent)/cost$, semplifico il coseno e mi resta senT...
in fisica per angoli molto piccoli si approssima la tangente di T a T se non sbaglio.......
Fai un discreto casino, permettimi. L'uso dei differenziali così alla buona è abbastanza irritante, ma pazienza, in fisica piace così.
Comunque il tuo metodo non funziona. Infatti se [tex]t\to 0[/tex] allora [tex]\mathrm{d}t\sim \mathrm{d}(\tan t)[/tex], ma
[tex]\displaystyle \mathrm{d}(\tan t)\cos t =\mathrm{d}\left (\frac{\sin t}{\cos t} \right ) \cos t \neq \mathrm{d}(\sin t)[/tex]
sia perché il differenziale non è moltiplicativo, sia perché [tex]\displaystyle \frac{\cos t}{\mathrm{d} \cos t}\neq 1[/tex].
Comunque il tuo metodo non funziona. Infatti se [tex]t\to 0[/tex] allora [tex]\mathrm{d}t\sim \mathrm{d}(\tan t)[/tex], ma
[tex]\displaystyle \mathrm{d}(\tan t)\cos t =\mathrm{d}\left (\frac{\sin t}{\cos t} \right ) \cos t \neq \mathrm{d}(\sin t)[/tex]
sia perché il differenziale non è moltiplicativo, sia perché [tex]\displaystyle \frac{\cos t}{\mathrm{d} \cos t}\neq 1[/tex].
Puoi scrivere però $cos(T)dT=d(sin T)$, che ti può servire se devi integrare per parti. Per il resto, questo tipo di manipolazioni è sempre ad alto rischio di errore: personalmente ne faccio uso solo quando è evidente che questo non farà sorgere delle inconsistenze.
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