Domanda teorica sulla forma algebrica dei numeri complessi
Salve,
alla domanda: "Come si arriva alla forma algebrica di un numero complesso?", posso giustificare la risposta con quanto segue:
Prendiamo per esempio un espressione del tipo $a+bi$, quale scelto scelto $b=0$ si riduce al numero reale $a$.
Siccome possiamo rappresentare il numero $a$, come la coppia ordinata di $(a,0)$, e siccome possiede le stesse proprietà algebriche dei corrispondenti numeri reali $a$, infatti, basta verificare che le identità:
$(a_1,0)+(a_2,0)=(a_1+a_2,0)$
$(a_1,0)*(a_2,0)=(a_1a_2,0)$
sono valide per ogni coppia di numeri reali $a_1$ e $a_2$.
Quindi scelto $C_0={(a,0)inC|ainR}$, l'insieme di numeri complessi con seconda coordinata nulla, e posta la funzione:
$g:C_0->R$, $g:((a,0))->a$ (è evidente che è biunivoca), possiamo definire l'insieme $C_0$, munito delle operazioni di addizione e moltiplicazione, come un sottocampo di $C$, isomorfo ad $R$, e l'isomorfismo è quello che associa al numero complesso $(a,0)$ il numero reale $a$.
Pertanto se indichiamo il numero complesso con una singola lettera, per esempio $z=(a,b)$, in virtù dell'isomorfismo messo in luce sopra, possiamo identificare il numero complesso del tipo $(a,0)$, con il numero reale $a$, si ha dunque:
$(a,0)=a$
e consideriamo pertanto $R$ come sottoinsieme di $C$.
Ora, per ottenere $i$ dall'espressione $a+bi$, occorre porre $a=0$, e $b=1$, perciò, chiameremo unità immaginaria il numero complesso:
$i=(0,1)$
E' evidente che allora $i^2=(0,1)*(0,1)=(-1,0)=-1$,
quindi, ora è possibile dare un significato preciso all'espressione $a+bi$, e se $(a,b)inC$, allora:
$(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)*(0,1)=(a,0)+(b,0)i$, e dunque:
$(a,b)=a+bi$, con $a,b$ ed $i$ tre numeri complessi.
E' opportuno rilevale che se avessimo utilizzato l'insieme $C_1= {(0,b) in C|binR}$, anziché $C_0$, in quanto prodotto di due elementi di $C_1$, può non appartenere a $C_1$, siccome:
$b,dinR$, il prodotto $(0,b)*(0,d)=(-bd,0)notinC_1$
alla domanda: "Come si arriva alla forma algebrica di un numero complesso?", posso giustificare la risposta con quanto segue:
Prendiamo per esempio un espressione del tipo $a+bi$, quale scelto scelto $b=0$ si riduce al numero reale $a$.
Siccome possiamo rappresentare il numero $a$, come la coppia ordinata di $(a,0)$, e siccome possiede le stesse proprietà algebriche dei corrispondenti numeri reali $a$, infatti, basta verificare che le identità:
$(a_1,0)+(a_2,0)=(a_1+a_2,0)$
$(a_1,0)*(a_2,0)=(a_1a_2,0)$
sono valide per ogni coppia di numeri reali $a_1$ e $a_2$.
Quindi scelto $C_0={(a,0)inC|ainR}$, l'insieme di numeri complessi con seconda coordinata nulla, e posta la funzione:
$g:C_0->R$, $g:((a,0))->a$ (è evidente che è biunivoca), possiamo definire l'insieme $C_0$, munito delle operazioni di addizione e moltiplicazione, come un sottocampo di $C$, isomorfo ad $R$, e l'isomorfismo è quello che associa al numero complesso $(a,0)$ il numero reale $a$.
Pertanto se indichiamo il numero complesso con una singola lettera, per esempio $z=(a,b)$, in virtù dell'isomorfismo messo in luce sopra, possiamo identificare il numero complesso del tipo $(a,0)$, con il numero reale $a$, si ha dunque:
$(a,0)=a$
e consideriamo pertanto $R$ come sottoinsieme di $C$.
Ora, per ottenere $i$ dall'espressione $a+bi$, occorre porre $a=0$, e $b=1$, perciò, chiameremo unità immaginaria il numero complesso:
$i=(0,1)$
E' evidente che allora $i^2=(0,1)*(0,1)=(-1,0)=-1$,
quindi, ora è possibile dare un significato preciso all'espressione $a+bi$, e se $(a,b)inC$, allora:
$(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)*(0,1)=(a,0)+(b,0)i$, e dunque:
$(a,b)=a+bi$, con $a,b$ ed $i$ tre numeri complessi.
E' opportuno rilevale che se avessimo utilizzato l'insieme $C_1= {(0,b) in C|binR}$, anziché $C_0$, in quanto prodotto di due elementi di $C_1$, può non appartenere a $C_1$, siccome:
$b,dinR$, il prodotto $(0,b)*(0,d)=(-bd,0)notinC_1$
Risposte
Non ho ben capito dove vuoi arrivare 
però a mio avviso queste considerazioni
sono un po' senza fondamento se prima non definisci un prodotto tra due coppie ordinate $(a,b)$ e $(c,d)$.
Nel caso dei numeri complessi puoi porre $(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ ed è da qui che parte la giustificazione $i^2=(0,1)*(0,1)=(-1,0)=-1$ e via dicendo...
Proprio proprio potevi anche identificare i reali con le coppie del tipo $(0,b)$ e definire il prodotto $(a,b)*(c,d)=(ad+bc,bd-ac)$ cosicché l'unità $1$ si identifichi con $(0,1)$ e l'unità immaginaria con $(1,0)$.
Chiaramente la norma è usare il primo sistema di notazioni!
però a mio avviso queste considerazioni"iH8u":
[..] perciò, chiameremo unità immaginaria il numero complesso:
$i=(0,1)$
E' evidente che allora $i^2=(0,1)*(0,1)=(-1,0)=-1$,
E' opportuno rilevale che se avessimo utilizzato l'insieme $C_1= {(0,b) in C|binR}$, anziché $C_0$, in quanto prodotto di due elementi di $C_1$, può non appartenere a $C_1$, siccome:
$b,dinR$, il prodotto $(0,b)*(0,d)=(-bd,0)notinC_1$
sono un po' senza fondamento se prima non definisci un prodotto tra due coppie ordinate $(a,b)$ e $(c,d)$.
Nel caso dei numeri complessi puoi porre $(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ ed è da qui che parte la giustificazione $i^2=(0,1)*(0,1)=(-1,0)=-1$ e via dicendo...
Proprio proprio potevi anche identificare i reali con le coppie del tipo $(0,b)$ e definire il prodotto $(a,b)*(c,d)=(ad+bc,bd-ac)$ cosicché l'unità $1$ si identifichi con $(0,1)$ e l'unità immaginaria con $(1,0)$.
Chiaramente la norma è usare il primo sistema di notazioni!
"Giso":
sono un po' senza fondamento se prima non definisci un prodotto tra due coppie ordinate $(a,b)$ e $(c,d)$.
Nel caso dei numeri complessi puoi porre $(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ ed è da qui che parte la giustificazione $i^2=(0,1)*(0,1)=(-1,0)=-1$ e via dicendo...
Proprio proprio potevi anche identificare i reali con le coppie del tipo $(0,b)$ e definire il prodotto $(a,b)*(c,d)=(ad+bc,bd-ac)$ cosicché l'unità $1$ si identifichi con $(0,1)$ e l'unità immaginaria con $(1,0)$.
Chiaramente la norma è usare il primo sistema di notazioni!
Ho dato per scontato che siano stati definiti, mentre il punto di arrivo sarebbe quello di dimostrare in che modo si arriva alla forma algebrica di un numero complesso, la famosa $a+bi$.
Per quanto riguarda l'unità immaginaria, è sbagliato il mio procedimento?
No è giusto! solo che ci son tanti modi per definire un prodotto in $RRxRR$ e questo è quello che ti permette di arrivare alla forma "classica" dei numeri complessi.
"Giso":
Proprio proprio potevi anche identificare i reali con le coppie del tipo $(0,b)$ e definire il prodotto $(a,b)*(c,d)=(ad+bc,bd-ac)$ cosicché l'unità $1$ si identifichi con $(0,1)$ e l'unità immaginaria con $(1,0)$.
Qui mi sorge un dubio, la moltiplicazione fra $(a,b)*(c,d)$, mi pare sia: $(ac-bd,ad+bc)$..
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