Domanda teorica sulla derivazione di un integrale definito!
Per risolvere un limite ho dovuto applicare il teorema di de l'Hopital e derivare un integrale definito.. all'inizio mi sono trovato in difficoltà ma poi ho scoperto che esiste una formula immediata per farlo, ovvero:
$ d/dx \int_{alpha (x)}^{beta (x)} f(y) dy = alpha' * f(alpha) - beta' * f(beta)$
Ma.. perchè posso applicare questa formula?
Immagino che derivi dal teorema fondamentale del calcolo integrale.. o sbaglio?
$ d/dx \int_{alpha (x)}^{beta (x)} f(y) dy = alpha' * f(alpha) - beta' * f(beta)$
Ma.. perchè posso applicare questa formula?
Immagino che derivi dal teorema fondamentale del calcolo integrale.. o sbaglio?
Risposte
No, non sbagli (anche se il segno è sbagliato nella formula da te riportata).
Fissa un punto \(a\) nel dominio \(I\) di \(f\) (che supporremo un intervallo). Posto \( F(y) := \int_a^y f(t) dt\) (funzione integrale di \(f\)), avrai che
\[ \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(t) dt = F(\beta(x)) - F(\alpha(x)) .\]
Supponendo dunque che \(f\) sia continua puoi utilizzare il teorema di Torricelli (che ti dice che \(F'(y) = f(y)\) per ogni \(y\in I\)) e il teorema di derivazione della funzione composta.
Fissa un punto \(a\) nel dominio \(I\) di \(f\) (che supporremo un intervallo). Posto \( F(y) := \int_a^y f(t) dt\) (funzione integrale di \(f\)), avrai che
\[ \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(t) dt = F(\beta(x)) - F(\alpha(x)) .\]
Supponendo dunque che \(f\) sia continua puoi utilizzare il teorema di Torricelli (che ti dice che \(F'(y) = f(y)\) per ogni \(y\in I\)) e il teorema di derivazione della funzione composta.
Ti ringrazio! Effettivamente ho notato di aver invertito gli estremi di integrazione 
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