Domanda teorica sui massimi relativi
Ciao a tutti, scusate il disturbo ma volevo chiedervi un opinione su questa domanda:
Sia f:R->R una funzione continua su tutto R e avante massimo relativo per x=0 è corretto affermare che f è derivabile per x=0 e la sua derivata in x=0 è nulla?
La mia risposta, spero corretta, è stata:
Essendo che se f è continua in un punto, qui 0, e derivabile in (a;0)unione(0;b) allora
f'(x) >0 in (a;0) e f'(x)<0 in (0;b) e si ha un massimo relativo in x=0 dunque non è corretto affermare che sia derivabile in 0.
é sbagliata?
Grazie in anticipo
Sia f:R->R una funzione continua su tutto R e avante massimo relativo per x=0 è corretto affermare che f è derivabile per x=0 e la sua derivata in x=0 è nulla?
La mia risposta, spero corretta, è stata:
Essendo che se f è continua in un punto, qui 0, e derivabile in (a;0)unione(0;b) allora
f'(x) >0 in (a;0) e f'(x)<0 in (0;b) e si ha un massimo relativo in x=0 dunque non è corretto affermare che sia derivabile in 0.
é sbagliata?
Grazie in anticipo
Risposte
La tua risposta è corretta. Non si può concludere che $f$ è derivabile in $x=0$. Potrebbe benissimo trattarsi, infatti, di un punto angoloso.
Grazie mille mi hai tolto un grosso dubbio
"Sissig":
Ciao a tutti, scusate il disturbo ma volevo chiedervi un opinione su questa domanda:
Sia f:R->R una funzione continua su tutto R e avante massimo relativo per x=0 è corretto affermare che f è derivabile per x=0 e la sua derivata in x=0 è nulla?
La mia risposta, spero corretta, è stata:
Essendo che se f è continua in un punto, qui 0, e derivabile in (a;0)unione(0;b) allora
f'(x) >0 in (a;0) e f'(x)<0 in (0;b) e si ha un massimo relativo in x=0 dunque non è corretto affermare che sia derivabile in 0.
La risposta finale è corretta, ma la motivazione lascia a desiderare.
Non si capisce infatti perché \(f\) debba essere derivabile in un intorno di \(0\), \(0\) escluso.
Bastava mostrare una funzione con un massimo relativo in \(0\) ma non derivabile in \(0\), senza ulteriori commenti (ad esempio, la funzione \(f(x) = -|x|\) fa al caso tuo).
"Rigel":
Bastava mostrare una funzione con un massimo relativo in \(0\) ma non derivabile in \(0\), senza ulteriori commenti (ad esempio, la funzione \(f(x) = -|x|\) fa al caso tuo).
Anch'io non mi sarei dilungato ma mi sarei limitato a confutare quanto detto dalla domanda utilizzando un contro-esempio.
La funzione \(f(x) = -|x|\) era quella che avevo in mente anch'io.
"Rigel":
Non si capisce infatti perché \(f\) debba essere derivabile in un intorno di \(0\), \(0\) escluso.
Ci avevo riflettuto su ciò, ma dopo qualche ragionamento mi sono convinto che in un intorno \(B_{\varepsilon}(0) = \left(-\varepsilon, \varepsilon\right)\) di $x=0$ la funzione risulterà derivabile per un determinato \(\varepsilon\). Sbaglio? Sto prendendo un granchio?
Chiaramente sfruttando l'ipotesi di continuità.
"Emar":
Ci avevo riflettuto su ciò, ma dopo qualche ragionamento mi sono convinto che in un intorno \(B_{\varepsilon}(0) = \left(-\varepsilon, \varepsilon\right)\) di $x=0$ la funzione risulterà derivabile per un determinato \(\varepsilon\). Sbaglio? Sto prendendo un granchio?
Chiaramente sfruttando l'ipotesi di continuità.
La funzione potrebbe non essere derivabile in alcun punto, pur essendo continua (per costruire un esempio bisogna faticare un po' e usare le serie di funzioni).
Ho capito. Mi sono lasciato abbindolare ragionando intuitivamente scordandomi che le serie ti fregano sempre 
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