Domanda teorica su equazioni differenziali del secondo ordin
Ciao, non ho capito una cosa sulle equazioni differenziali lineari del secondo ordine. Il mio libro dice che se $y_1$ e $y_2$ sono soluzioni particolari dell'equazione allora lo sono anche:
1) la loro somma, cioè $y_1+y_2$;
2) se $k$ è un numero reale, anche $ky_1$;
3) anche una loro combinazione lineare, cioè $ay_1+ay_2$.
Fin qui mi è chiaro. Poi il libro dice che tutto ciò è vero solo se le funzioni $y_1$ e $y_2$ soddisfano una particolare condizione, espressa da un teorema:
"Data l'equazione differenziale $y''+p(x)y'+q(x)y=0$, allora esistono due funzioni $y_1$ e $y_2$ soluzioni di tale equazione, tali che $ay_1+by_2=0$ se e solo se $a=b=0$". Non ho capito quest'ultimo punto, ossia quest'ultimo teorema. Il libro inoltre dice che, in altre parole, le due soluzioni soddisfano la condizione espressa dal teorema, ovvero $ay_1+by_2=0$, se $y_1$ e $y_2$ sono linearmente indipendenti, cioè il loro rapporto non è costante. Qualcuno può spiegarmi queste ultime cose, tenendo conto inoltre del fatto che ancora devo studiare algebra lineare? Grazie mille
1) la loro somma, cioè $y_1+y_2$;
2) se $k$ è un numero reale, anche $ky_1$;
3) anche una loro combinazione lineare, cioè $ay_1+ay_2$.
Fin qui mi è chiaro. Poi il libro dice che tutto ciò è vero solo se le funzioni $y_1$ e $y_2$ soddisfano una particolare condizione, espressa da un teorema:
"Data l'equazione differenziale $y''+p(x)y'+q(x)y=0$, allora esistono due funzioni $y_1$ e $y_2$ soluzioni di tale equazione, tali che $ay_1+by_2=0$ se e solo se $a=b=0$". Non ho capito quest'ultimo punto, ossia quest'ultimo teorema. Il libro inoltre dice che, in altre parole, le due soluzioni soddisfano la condizione espressa dal teorema, ovvero $ay_1+by_2=0$, se $y_1$ e $y_2$ sono linearmente indipendenti, cioè il loro rapporto non è costante. Qualcuno può spiegarmi queste ultime cose, tenendo conto inoltre del fatto che ancora devo studiare algebra lineare? Grazie mille
Risposte
Non è vero.
Il libro non dice che [tex]$ay_1+by_2$[/tex] è soluzione solo se [tex]$y_1,y_2$[/tex] soddisfano quella condizione.
Il testo dice due cose distinte: 1) poiché l'equazione differenziale è lineare, comunque tu scelga due sue soluzioni [tex]$y_1,y_2$[/tex] allora anche [tex]$ay_1+by_2$[/tex] è soluzione; 2) che esistono due soluzioni [tex]$y_1,y_2$[/tex] linearmente indipendenti.
Insomma, le proprietà di linearità e l'esistenza di integrali indipendenti sono cose distinte (nel senso che la prima non dipende dalla seconda).
Quello che mi chiedo, però, è: perchè non hai ancora dato Algebra Lineare?
Sembra che non abbia legami con l'Analisi, ma ciò non è affatto vero.
Il libro non dice che [tex]$ay_1+by_2$[/tex] è soluzione solo se [tex]$y_1,y_2$[/tex] soddisfano quella condizione.
Il testo dice due cose distinte: 1) poiché l'equazione differenziale è lineare, comunque tu scelga due sue soluzioni [tex]$y_1,y_2$[/tex] allora anche [tex]$ay_1+by_2$[/tex] è soluzione; 2) che esistono due soluzioni [tex]$y_1,y_2$[/tex] linearmente indipendenti.
Insomma, le proprietà di linearità e l'esistenza di integrali indipendenti sono cose distinte (nel senso che la prima non dipende dalla seconda).
Quello che mi chiedo, però, è: perchè non hai ancora dato Algebra Lineare?
Sembra che non abbia legami con l'Analisi, ma ciò non è affatto vero.
"gugo82":
Non è vero.
Il libro non dice che [tex]$ay_1+by_2$[/tex] è soluzione solo se [tex]$y_1,y_2$[/tex] soddisfano quella condizione.
Il testo dice due cose distinte: 1) poiché l'equazione differenziale è lineare, comunque tu scelga due sue soluzioni [tex]$y_1,y_2$[/tex] allora anche [tex]$ay_1+by_2$[/tex] è soluzione; 2) che esistono due soluzioni [tex]$y_1,y_2$[/tex] linearmente indipendenti.
Insomma, le proprietà di linearità e l'esistenza di integrali indipendenti sono cose distinte (nel senso che la prima non dipende dalla seconda).
Quello che mi chiedo, però, è: perchè non hai ancora dato Algebra Lineare?
Sembra che non abbia legami con l'Analisi, ma ciò non è affatto vero.
non è che non l'ho ancora dato, è che il corso di geometria per quanto riguarda il mio corso inizia nel secondo semestre
@Soscia: Ma 
...
Di solito Analisi I e Algebra Lineare sono corsi del primo sememstre, proprio perchè sono propedeutici a questo tipo di cose.
...Di solito Analisi I e Algebra Lineare sono corsi del primo sememstre, proprio perchè sono propedeutici a questo tipo di cose.
"gugo82":
@Soscia: Ma
Di solito Analisi I e Algebra Lineare sono corsi del primo sememstre, proprio perchè sono propedeutici a questo tipo di cose.
Boh, io faccio ingegneria meccanica e geometria la faccio dopo analisi 1...
Mi sembra che Soscia non abbia colpe , piuttosto il piano di studi 
Anche al Polimi -Ing matematica l'algebra lineare la fanno al secondo semestre ma le equaxzioni differenziali sono nello stesso semestre.
Anche al Polimi -Ing matematica l'algebra lineare la fanno al secondo semestre ma le equaxzioni differenziali sono nello stesso semestre.
@Camillo: Che Soscia non abbia colpe è evidentissimo... Piuttosto chi ha elaborato i piani di studio ha fatto un po' alla sonfrasò.
Chiaramente è sensato tenere Algebra Lineare e le EDO staccati di un semestre ma in quest'ordine, oppure al limite metterli allo stesso sememstre; però fare prima le EDO e poi studiare Algebra Lineare non conviene, perchè si perdono tutte le analogie.
Chiaramente è sensato tenere Algebra Lineare e le EDO staccati di un semestre ma in quest'ordine, oppure al limite metterli allo stesso sememstre; però fare prima le EDO e poi studiare Algebra Lineare non conviene, perchè si perdono tutte le analogie.
Purtroppo anche io, al primo anno, ho fatto (dovuto fare...) prima Analisi I (I semestre) e poi Geometria I (in cui abbiamo fatto anche algebra lineare, al II semestre).
Ricordo ancora che, durante le lezioni sulle EDO in Analisi I, il professore ci guardò malissimo quando scoprì che non sapevamo che cos'era uno spazio vettoriale...
Boh, misteri dei piani di studio.
Ricordo ancora che, durante le lezioni sulle EDO in Analisi I, il professore ci guardò malissimo quando scoprì che non sapevamo che cos'era uno spazio vettoriale...
Boh, misteri dei piani di studio.
Anche se il topic ormai è andato OT, giusto per correttezza, il professore ha trattato nel corso di Analisi 1 le equazioni differenziali solo perchè ha detto che sarebbero state necessarie nei corsi di Fisica; una trattazione esauriente delle equazioni differenziali si farà nel corso di Analisi 2.
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