Domanda teorica risoluzione integrali.
Salve;
voglio porgervi una domanda riguardo la risoluzione degli integrali; in genere per comodità risolutiva si prova a "manipolare" entità matematiche, facendole comparire in tutte altre forme senza però modificare la quantità e il significato matematico di ciò che andiamo a modificare.
ad esempio.
sto risolvendo l'integrale $ int x^3 e^(-x^2) dx$ mi accorgo subito che non posso arrivare immediatamente al famoso integrale noto $f'(x)*e^(f(x))$, a meno che non scrivo l'integranda in questo modo:
$ x^2 *x*e^(-x^2)$ , ora secondo la risoluzione del testo "noi" possiamo far comparire il famoso integrale moltiplicando e dividendo per -2 in modo tale che diventi $ -1/2 int x^2(-2x)*e^-x^2 dx$
Quì non capisco... $-1/2$ fuori dall'integrale non significa che noi stiamo dividendo per $-2$ tutto ciò che è all'interno dell'integrale ?
Ecco... se è così non capisco come mai il $-2$ ,invece, viene a moltiplicare "solo un entità" all'interno dell'integrale ovvero la x sola soletta e non come giusto sarebbe tutta l'integranda.
è la prima volta che mi accorgo di questa cosa... se questa cosa si può fare mi viene molto in aiuto! in molte risoluzioni mi sono trovato in difficoltà proprio perchè penso/pensavo che la divisione e moltiplicazione andava fatta per tutta la funzione e non per "singole entità"/componenti di f(x).
Grazie per le delucidazioni, scusate se ho usato qualche termine non appropriato ....
voglio porgervi una domanda riguardo la risoluzione degli integrali; in genere per comodità risolutiva si prova a "manipolare" entità matematiche, facendole comparire in tutte altre forme senza però modificare la quantità e il significato matematico di ciò che andiamo a modificare.
ad esempio.
sto risolvendo l'integrale $ int x^3 e^(-x^2) dx$ mi accorgo subito che non posso arrivare immediatamente al famoso integrale noto $f'(x)*e^(f(x))$, a meno che non scrivo l'integranda in questo modo:
$ x^2 *x*e^(-x^2)$ , ora secondo la risoluzione del testo "noi" possiamo far comparire il famoso integrale moltiplicando e dividendo per -2 in modo tale che diventi $ -1/2 int x^2(-2x)*e^-x^2 dx$
Quì non capisco... $-1/2$ fuori dall'integrale non significa che noi stiamo dividendo per $-2$ tutto ciò che è all'interno dell'integrale ?
Ecco... se è così non capisco come mai il $-2$ ,invece, viene a moltiplicare "solo un entità" all'interno dell'integrale ovvero la x sola soletta e non come giusto sarebbe tutta l'integranda.

Grazie per le delucidazioni, scusate se ho usato qualche termine non appropriato ....
Risposte
Spero di aver capito la domanda, comunque tu dividi per -2 il prodotto che sta dentro all'integrale, che (per la proprietà associativa del prodotto) equivale a dividere per -2 uno qualsiasi dei membri
"Davvi":
Spero di aver capito la domanda, comunque tu dividi per -2 il prodotto che sta dentro all'integrale, che (per la proprietà associativa del prodotto) equivale a dividere per -2 uno qualsiasi dei membri
si, ma io sapevo che non si poteva fare una cosa del genere...
se mai moltiplicare e dividere il tutto si....
è questo il dubbio

Nell'integrale hai moltiplicato e diviso il tutto per -2
Fuori dall'integrale hai $-1 / 2$, dentro all'integrale avresti un -2 che moltiplica tutto, che per la proprietà associativa del prodotto equivale a un -2 che moltiplica un termine.
Mi sembra banale, forse non capisco cosa non ti è chiaro, nel caso prova a spiegarlo meglio
Fuori dall'integrale hai $-1 / 2$, dentro all'integrale avresti un -2 che moltiplica tutto, che per la proprietà associativa del prodotto equivale a un -2 che moltiplica un termine.
Mi sembra banale, forse non capisco cosa non ti è chiaro, nel caso prova a spiegarlo meglio

"mat100":
[quote="Davvi"]Spero di aver capito la domanda, comunque tu dividi per -2 il prodotto che sta dentro all'integrale, che (per la proprietà associativa del prodotto) equivale a dividere per -2 uno qualsiasi dei membri
si, ma io sapevo che non si poteva fare una cosa del genere...
se mai moltiplicare e dividere il tutto si....
è questo il dubbio

Come ti è già stato fatto abbondantemente notare, grazie a Dio, la moltiplicazione dei reali è associativa e commutativa, ergo scrivere:
[tex]$-2x^3 e^{-x^2}$[/tex] oppure [tex]$x^2 (-2x)e^{-x^2}$[/tex]
è la stessa cosa; quindi non vedo in cosa possa riesedere la ragionevolezza del dubbio...
"mat100":
Salve;
........cut.........
è la prima volta che mi accorgo di questa cosa... se questa cosa si può fare mi viene molto in aiuto! in molte risoluzioni mi sono trovato in difficoltà proprio perchè penso/pensavo che la divisione e moltiplicazione andava fatta per tutta la funzione e non per "singole entità"/componenti di f(x).
Grazie per le delucidazioni, scusate se ho usato qualche termine non appropriato ....
Posso suggerirti il Giusti "Esercizi di Analisi matematica", e anche di lui "Analisi Matematica I" entrambi editi Boringhieri? Tra l'altro c'è una interessante introduzione ai numeri relativi. I numeri reali che trattiamo obbediscono agli assiomi di campo, qualche volta parliamo di estremo superiore e di radice quadrata di un mumero reale positivo, ogni tanto si usa la proprietà archimedea dei numeri reali, parliamo di pi-greco e del numero di nepero, ma, insomma, per il resto, lettere dell'alfabeto nostrano o greco e soltanto lettere, in pratica, con i numeri reali, si ragiona sempre con gli assiomi di un campo ordinato e le proprietà degli estremi inferiori o superiori degli insiemi.
Ciao!
Mi ritrovo anche io di fronte questo integrale.
Ma come si risolve? Nonostante i passaggi (moltiplicando e dividendo per -2) non riesco a capire come si arrivi alla soluzione!
Grazie
Mi ritrovo anche io di fronte questo integrale.
Ma come si risolve? Nonostante i passaggi (moltiplicando e dividendo per -2) non riesco a capire come si arrivi alla soluzione!
Grazie
1. facciamo la sostituzione $x^2=t$ da cui $xdx=(dt)/2$
2. riscriviamo l'integrale con la sostituzione: $intx^3e^(-x^2)dx=int1/2te^(-t)dt$
3. integriamo per parti: $1/2[-te^(-t)+inte^(-t)]=1/2[-te^(-t)-e^(-t)]+c=-1/2e^(-t)(1+t)+c$
4. risostituiamo: $-1/2e^(-x^2)(1+x^2)+c$
2. riscriviamo l'integrale con la sostituzione: $intx^3e^(-x^2)dx=int1/2te^(-t)dt$
3. integriamo per parti: $1/2[-te^(-t)+inte^(-t)]=1/2[-te^(-t)-e^(-t)]+c=-1/2e^(-t)(1+t)+c$
4. risostituiamo: $-1/2e^(-x^2)(1+x^2)+c$