Domanda teorica Analisi Matematica 1

[davide.fede1]

Salve, vi propongo una domanda teorica presa da una prova di A.M. 1. Sia $f: [1,+oo) \to RR$ tale che $\lim_{x \to \infty}f(x)/x =0$ allora necessariamente.. e la risposta giusta è: " $\lim_{x \to \infty}sqrt(|f(x)|^3)/x^2 =0$ " . Ho preso come funzione che rispettasse le ipotesi $f(x)=sqrt(x-1)$ però avrei dato come risposta " $\lim_{x \to \infty}f(x)^2/sqrt(x^3)=0$ " e provando le due risposte sono entrambe verificate. Mi sapete aiutare ?

[gugo82]

Perdonami se mi soffermo un momento su un fatto di base.
Non puoi sperare di dimostrare un teorema (o risolvere un quesito teorico) guardando un unico caso particolare.
Per capirci, così come non puoi dire che tutti i triangoli hanno i tre lati congruenti perché hai trovato che ciò vale nel caso del triangolo equilatero, non puoi affermare che un fatto generale valga se lo dimostri per una funzione particolare.

Per venire al quesito, il ragionamento algebrico è molto semplice da portare avanti.
Hai:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x}=0\ &\Leftrightarrow\ \lim_{x\to \infty} \frac{|f(x)|}{|x|}=0\\
&\Rightarrow\ \lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt[3]{|f(x)|}}{\sqrt[3]{|x|}}=0\\
&\Rightarrow\ \lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt[3]{|f(x)|}}{\sqrt[3]{|x|}}\cdot \frac{1}{\sqrt[3]{|x|^5}}=0\\
&\Rightarrow\ \lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt[3]{|f(x)|}}{x^2}=0
\end{split}\]
per le note regole di calcolo coi limiti.

[davide.fede1]

Ti ringrazio del chiarimento, ma mi sorge un dubbio. Il ragionamento algebrico che hai fatto tu è corretto ma lo hai fatto sapendo che quella era la risposta giusta. Avendo davanti 4 limiti diversi e non sapendo quale sia quello giusto che dovrei fare ? Eseguire il ragionamento con tutte e quattro le possibili soluzioni ?