Domanda teorica Analisi Matematica 1

[davide.fede1]

Salve, vi riporto un quesito di A.M. 1 che non sono riuscito a capire. Il quesito è: Sia $f: [-1,1] rarr RR$ di classe $C^2$ e tale che $f(0) =0$ . Quale delle seguenti opzioni è sufficiente affinché il punto $x=0$ sia il minimo assoluto per $f$ ? . Vi risparmio le tre risposte sbagliate, la giusta è " $xf'(x)>= 0$ per ogni $x in [-1,1]$ " . Ho preso come funzione che rispettasse le ipotesi $f(x)=xsqrt(1-x^2)$ ma non sono riuscito a capire come facesse ad essere quella la risposta giusta, a maggio ragione per quel $x in [-1,1]$ dato che nel dominio della derivata non sono inclusi né $-1$ né $1$. Mi potete aiutare ?

[billyballo2123]

Usa il teorema di Lagrange...
Sappiamo che per ipotesi $xf'(x)\geq 0$ per ogni $x\in [-1,1]$. Supponiamo che esista un punto $x_0\in [-1,0]$ tale che $f(x_0) < f(0)=$. Questo equivale a dire che $f(0)-f(x_0)>0$. Se poniamo $x_0=a$ e $0=b$, per il teorema di Lagrange deve esistere $c\in (a,b)$ (cioè appartenente all'intervallo $(x_0,0)$) tale che
\[
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c).
\]
Essendo però $f(b)-f(a)$ e $b-a$ entrambi strettamente positivi si ha che $f'(c)>0$. Inoltre essendo $c\in (x_0,0)$, segue che $c$ è negativo, dunque $cf'(c)<0$, contro l'ipotesi che $xf'(x)\geq 0$ per ogni $x\in [-1,1]$.
In modo del tutto analogo si dimostra che non può esistere un punto $x_0\in [0,1]$ tale che $f(x_0)
Tra l'altro la funzione che hai preso tu come esempio ($x\sqrt{1-x^2}$) non rispetta la condizione $xf'(x)\geq 0$ per ogni $x\in [-1,1]$.

[davide.fede1]

"billyballo2123":Usa il teorema di Lagrange...
Sappiamo che per ipotesi $xf'(x)\geq 0$ per ogni $x\in [-1,1]$. Supponiamo che esista un punto $x_0\in [-1,0]$ tale che $f(x_0) < f(0)=$. Questo equivale a dire che $f(0)-f(x_0)>0$. Se poniamo $x_0=a$ e $0=b$, per il teorema di Lagrange deve esistere $c\in (a,b)$ (cioè appartenente all'intervallo $(x_0,0)$) tale che
\[
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c).
\]
Essendo però $f(b)-f(a)$ e $b-a$ entrambi strettamente positivi si ha che $f'(c)>0$. Inoltre essendo $c\in (x_0,0)$, segue che $c$ è negativo, dunque $cf'(c)<0$, contro l'ipotesi che $xf'(x)\geq 0$ per ogni $x\in [-1,1]$.
In modo del tutto analogo si dimostra che non può esistere un punto $x_0\in [0,1]$ tale che $f(x_0)
Tra l'altro la funzione che hai preso tu come esempio ($x\sqrt{1-x^2}$) non rispetta la condizione $xf'(x)\geq 0$ per ogni $x\in [-1,1]$.

Hai ragione, non ci avevo pensato. Grazie mille

[dissonance]

Puoi anche notare che la condizione è una maniera compatta di scrivere che la derivata deve essere positiva a destra e negativa a sinistra di 0.

[billyballo2123]

"davide.fede":
Hai ragione, non ci avevo pensato. Grazie mille

Figurati

[gugo82]

"dissonance":Puoi anche notare che la condizione è una maniera compatta di scrivere che la derivata deve essere positiva a destra e negativa a sinistra di 0.

Il che implica che la funzione è unimodale e perciò $0$ è di minimo assoluto... Ma mi sa che l'esercizio ha ipotesi sovrabbondanti: il fatto che $f$ sia $C^2$ e che $f(0)=0$ non servono a nulla.