Domanda sullo sviluppo in serie di taylor
Stavo studiando la seguente funzione $f(x)=x-x^2$ per $x<=1/2$ ed $f(x)=x^2-x+1/2$ per $x>=1/2$, e mi chiedevo il motivo per cui essa non coincide con lo sviluppo in serie di taylor nel punto $0$, cioè la serie di Mc laurin,essa è ben definita, e derivabile in tutto $R$ ,osservando però il punto $x=1/2$ , in tale punto la funzione è continua, possiede la derivata prima,
ma non esiste la derivata seconda, pertanto in tale punto non è indefinitivamente derivabile, viene così a mancare un ipotesi fondamentale; infatti se non sbaglio una funzione definita in $R$, indefinitivamente derivabile nell'origine cioè in $0$, affinchè coincida con il suo polinomio di Mc laurin è necessario che sia indefinitivamente derivabile per ogni $x$ $inR$, ed il termine resto $T_n=x^n/(n!)f^n(phi)$ tenda a zero per $n$ tendente ad $infty$, con $0<=phi
ma non esiste la derivata seconda, pertanto in tale punto non è indefinitivamente derivabile, viene così a mancare un ipotesi fondamentale; infatti se non sbaglio una funzione definita in $R$, indefinitivamente derivabile nell'origine cioè in $0$, affinchè coincida con il suo polinomio di Mc laurin è necessario che sia indefinitivamente derivabile per ogni $x$ $inR$, ed il termine resto $T_n=x^n/(n!)f^n(phi)$ tenda a zero per $n$ tendente ad $infty$, con $0<=phi
Risposte
certo, è necessario che sia di classe $C^\infty$, ma non è sufficiente: ci sono funzioni di classe $C^\infty$ che non sono analitiche (cioè non sono il proprio sviluppo di Taylor).
Grazie molto per la risposta!
Questo argomento, ho visto che è trattato in alcuni libri di testo di analisi 1, sicuramente in maniera rigorosa dal punto di vista logico e formale, però a mio modesto parere ciò tende ad offuscare la semplicità del concetto, facendo si, che l'argomento risulti assai ostico per un profano in materia come me.
In effetti lo sviluppo in serie di taylor con resto di lagrange, da come ho potuto capire, non è altro che una semplice estensione del teorema di lagrange, in fin dei conti si reitera all'infinito tale teorema per una generica funzione $f(x)$, ecco perchè è necessario che la funzione sia indefinitivamente derivabile, ed in particolare affinchè coincida con il proprio sviluppo in serie di Mc Laurin(taylor nel punto $x=0$), visto che in ogni caso i coefficienti $a_i$ di un generico polinomio o serie polinomiale sono legati dalla relazione $x^i/(i!)f^i(0)$ alle derivate successive, comunque sia $i$ $inN$, ed avere così la sufficienza delle condizioni poste, bisogna richiedere che il termine generico $R_n=x^n/(n!)f^n(phi)$ tenda a $0$ per $n$ tendente ad $infty$, in definitiva possiamo dire che una funzione di classe $C^infty$ coinciderà con il suo sviluppo in serie di Mc Laurin se e solo se il resto di lagrange $R_n$ tenderà a $0$ per $n$ tedente ad $infty$;
Adesso se le derivate sono equolimitate cioè risulta $|f^n(x)|<=k$ per un certo $k$ e per ogni $x$ appartenenti ad $R$ , allora si ha che per $n$ tendente ad $infty$ risulta $lim$ $x^n/(n!)f^n(phi)=0$, questo succede in alcune funzioni elementari come $sinx$ ed $e^x$, che perciò vengono a coincidere con il loro sviluppo di Mc Laurin ,sono analitiche e possono essere così calcolate con l'approssimazione voluta;
In ultima analisi si reitera lagrange all'infinito, e si fa in modo che il resto $R_n$ si azzeri all'infinito.
Sono giuste le considerazioni fin qui, da me espresse?
Potrebbe riportarmi qualche esempio di funzioni di classe $C^infty$ che non sono analitiche?
E se possibile anche di qualche funzione le cui derivate non siano equolimitate ma che però risulti analitica?
Questo argomento, ho visto che è trattato in alcuni libri di testo di analisi 1, sicuramente in maniera rigorosa dal punto di vista logico e formale, però a mio modesto parere ciò tende ad offuscare la semplicità del concetto, facendo si, che l'argomento risulti assai ostico per un profano in materia come me.
In effetti lo sviluppo in serie di taylor con resto di lagrange, da come ho potuto capire, non è altro che una semplice estensione del teorema di lagrange, in fin dei conti si reitera all'infinito tale teorema per una generica funzione $f(x)$, ecco perchè è necessario che la funzione sia indefinitivamente derivabile, ed in particolare affinchè coincida con il proprio sviluppo in serie di Mc Laurin(taylor nel punto $x=0$), visto che in ogni caso i coefficienti $a_i$ di un generico polinomio o serie polinomiale sono legati dalla relazione $x^i/(i!)f^i(0)$ alle derivate successive, comunque sia $i$ $inN$, ed avere così la sufficienza delle condizioni poste, bisogna richiedere che il termine generico $R_n=x^n/(n!)f^n(phi)$ tenda a $0$ per $n$ tendente ad $infty$, in definitiva possiamo dire che una funzione di classe $C^infty$ coinciderà con il suo sviluppo in serie di Mc Laurin se e solo se il resto di lagrange $R_n$ tenderà a $0$ per $n$ tedente ad $infty$;
Adesso se le derivate sono equolimitate cioè risulta $|f^n(x)|<=k$ per un certo $k$ e per ogni $x$ appartenenti ad $R$ , allora si ha che per $n$ tendente ad $infty$ risulta $lim$ $x^n/(n!)f^n(phi)=0$, questo succede in alcune funzioni elementari come $sinx$ ed $e^x$, che perciò vengono a coincidere con il loro sviluppo di Mc Laurin ,sono analitiche e possono essere così calcolate con l'approssimazione voluta;
In ultima analisi si reitera lagrange all'infinito, e si fa in modo che il resto $R_n$ si azzeri all'infinito.
Sono giuste le considerazioni fin qui, da me espresse?
Potrebbe riportarmi qualche esempio di funzioni di classe $C^infty$ che non sono analitiche?
E se possibile anche di qualche funzione le cui derivate non siano equolimitate ma che però risulti analitica?
Si, non ci sono errori in quanto affermi, anche se per avere l'analiticità basta che il resto tenda a $0$, non è necessario che quello di Lagrange tenda a $0$, il resto di Lagrange è solo una delle possibili forme per scrivere appunto il resto.
Riguardo ad una funzione di classe $C^\infty$ e non analitica l'esempio più noto è quello della funzione definita da $e^{-1/x}$ per $x>0$ e $0$ per $x\le 0$: si vede subito che tutte le derivate in $0$ valgono $0$ ma la funzione non è nulla in un intorno di $0$ per cui non può essere analitica.
Infine, la funzione $e^x$ è analitica su $\mathbb R$ ma le derivate non sono equilimitate.
Riguardo ad una funzione di classe $C^\infty$ e non analitica l'esempio più noto è quello della funzione definita da $e^{-1/x}$ per $x>0$ e $0$ per $x\le 0$: si vede subito che tutte le derivate in $0$ valgono $0$ ma la funzione non è nulla in un intorno di $0$ per cui non può essere analitica.
Infine, la funzione $e^x$ è analitica su $\mathbb R$ ma le derivate non sono equilimitate.
Grazie tante per la risposta!
Ero sicuro che cio che avevo scritto in qualche modo era esatto, comincio ad avere le idee più chiare sull'argomento; il fatto che io prenda in considerazione il resto $Rn$ di lagrange è dovuto all'uso reiterato di tale teorema, nella dimostrazione;
Esistono altre forme in cui si può scrivere il resto $Rn$? Può elencarmene alcune?
Ero sicuro che cio che avevo scritto in qualche modo era esatto, comincio ad avere le idee più chiare sull'argomento; il fatto che io prenda in considerazione il resto $Rn$ di lagrange è dovuto all'uso reiterato di tale teorema, nella dimostrazione;
Esistono altre forme in cui si può scrivere il resto $Rn$? Può elencarmene alcune?
La forma più elementare è quella di Peano, trovi tante informazioni sui testi di analisi o anche in rete; inoltre c'e' anche la formula di Taylor col resto integrale che è una variante di quello di Lagrange.
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