Domanda sull'holderianità
Ho trovato un esercizio in cui si chiedeva di dimostrare che se una funzione $f$ da $[a,b]$ in $RR$ è $\alpha$-holderiana e $\beta<\alpha$ allora $f$ è anche $\beta$-holderiana. Però dopo dice:osservare che questo non è necessariamente vero se il dominio non è limitato, ma non mi sono venuti in mente degli esempi, a voi?
Inoltre a questo punto sorge una domanda: come può essere fatto l'insieme ${\alpha\in(0,1)| f è \alpha-holderiana}$, cioè quanto può essere strano?
Inoltre a questo punto sorge una domanda: come può essere fatto l'insieme ${\alpha\in(0,1)| f è \alpha-holderiana}$, cioè quanto può essere strano?
Risposte
Alla prima domanda risponderei $f(x) = \sqrt{x}$, $x \in [0, + \infty[$, che è $1/2$-holderiana. Se fosse $1/3$-holderiana si avrebbe che: $\exists C_{1/3} > 0$ tale che
\[ |\sqrt{x} - \sqrt{y}| \le C_{1/3} |x-y|^{1/3} , \quad \forall x , y \in [0,+\infty[ .\]
Scegliendo in particolare $y = 0$ e $x > 0$ si ottiene la seguente disuguaglianza
\[ x^{5/6} \le C_{1/3} , \quad \forall x \in ]0,+\infty[ ,\]
da cui l'assurdo.
\[ |\sqrt{x} - \sqrt{y}| \le C_{1/3} |x-y|^{1/3} , \quad \forall x , y \in [0,+\infty[ .\]
Scegliendo in particolare $y = 0$ e $x > 0$ si ottiene la seguente disuguaglianza
\[ x^{5/6} \le C_{1/3} , \quad \forall x \in ]0,+\infty[ ,\]
da cui l'assurdo.
Mi è capitato poco tempo fa di riflettere di nuovo su questa questione e mi è venuta in mente una risposta parziale (insieme ad altre cose che finiranno in un altro post), la scrivo per chiunque capiti qui e si incuriosisca della domanda.
In generale si ha che: se $\alpha<\beta<\gamma$, $f$ è $\alpha$-holderiana e $\gamma$-holderiana allora è anche $\beta$-holderiana. Infatti $EE0<\lambda<=1$ tale che $\beta=\lambda\alpha+(1-\lambda)\gamma$, allora $d(f(x),f(y))=d(f(x),f(y))^(\lambda+1-\lambda)=d(f(x),f(y))^\lambdad(f(x),f(y))^(1-\lambda)<=L_\alpha^\lambda(d(x,y)^\alpha)^\lambdaL_\gamma^(1-\lambda)(d(x,y)^\beta)^(1-\lambda)=L_\alpha^\lambdaL_\gamma^\(1-\lambda)d(x,y)^(\lambda\alpha+(1-\lambda)\gamma)=L_\alpha^\lambdaL_\gamma^\(1-\lambda)d(x,y)^\beta$
Quindi l'insieme degli esponenti di Holder è un intervallo, rimarrebbe da capire se tutti gli intervalli sono possibili.
Nel caso di dominio totalmente limitato (in particolare compatto), se $f$ è $\alpha$($\in(0,1)$)-holderiana e $\beta\in(0,\alpha)$, si osserva semplicemente che essere $0$-holderiana vuole dire letteralmente essere limitata, quindi per quanto visto sopra è $\beta$-holderiana (dato che l'immagine uniformemente continua di uno spazio totalmente limitato è totalmente limitata).
P.S. @Seneca grazie per essere intervenuto e scusa per il ritardo
In generale si ha che: se $\alpha<\beta<\gamma$, $f$ è $\alpha$-holderiana e $\gamma$-holderiana allora è anche $\beta$-holderiana. Infatti $EE0<\lambda<=1$ tale che $\beta=\lambda\alpha+(1-\lambda)\gamma$, allora $d(f(x),f(y))=d(f(x),f(y))^(\lambda+1-\lambda)=d(f(x),f(y))^\lambdad(f(x),f(y))^(1-\lambda)<=L_\alpha^\lambda(d(x,y)^\alpha)^\lambdaL_\gamma^(1-\lambda)(d(x,y)^\beta)^(1-\lambda)=L_\alpha^\lambdaL_\gamma^\(1-\lambda)d(x,y)^(\lambda\alpha+(1-\lambda)\gamma)=L_\alpha^\lambdaL_\gamma^\(1-\lambda)d(x,y)^\beta$
Quindi l'insieme degli esponenti di Holder è un intervallo, rimarrebbe da capire se tutti gli intervalli sono possibili.
Nel caso di dominio totalmente limitato (in particolare compatto), se $f$ è $\alpha$($\in(0,1)$)-holderiana e $\beta\in(0,\alpha)$, si osserva semplicemente che essere $0$-holderiana vuole dire letteralmente essere limitata, quindi per quanto visto sopra è $\beta$-holderiana (dato che l'immagine uniformemente continua di uno spazio totalmente limitato è totalmente limitata).
P.S. @Seneca grazie per essere intervenuto e scusa per il ritardo
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