Domanda sull'equazione differenziale
Illustrare, in tutti i casi, l'integrale generale di una equazione differenziale lineare del secondo ordine con i coefficienti costanti omogenea.
Sto studiando la teoria ma quest'integrale generale non mi viene proprio.
Io so che un'eq. diff. lineare di ordine arbitrario si distingue in due parti:
- una parte omogenea $y_0(x)$
- la soluzione particolare $y_(text{*})(x)$
Quindi la soluzione generale sarà:
$y(x) = y_0(x) + y_(text{*})(x)$
La parte omogenea si risolve associandovi il corrispettivo polinomio caratteristico, ne trovo le soluzioni e in base alla molteplicità scrivo la combinazione lineare delle soluzioni.
Per la soluzione particolare se $f(x)$ ha una forma particolare come:
$f(x)=e^(alphax) * P(x) \{(cos(betax)), (sin(betax)) :}$
Allora controllo prima $alpha + ibeta$, ne determino la molteplicità all'interno del polinomio caratteristico e poi utilizzo la seguente formula:
$y_*(x) = x^m*e(alphax)*(Q_1(x)*cos(betax)+Q_2(x)*sin(betax))$ dove $m$ è la molteplicità.
La domanda riguarda una equazione differenziale lineare del secondo ordine con i coefficienti costanti omogenea, quindi senza la soluzione particolare? Quale integrale generale dovrei utilizzare?
RISOLTO: l'insieme di tutte le soluzioni di un'equazione differenziale prende il nome di INTEGRALE GENERALE.
L'integrale generale dell'equazione omogenea lineare di secondo grado è data da:
$z(t) = c_1z_1(t)+c_2z_2(t)$ con $c_1,c_2 in R$
Sto studiando la teoria ma quest'integrale generale non mi viene proprio.
Io so che un'eq. diff. lineare di ordine arbitrario si distingue in due parti:
- una parte omogenea $y_0(x)$
- la soluzione particolare $y_(text{*})(x)$
Quindi la soluzione generale sarà:
$y(x) = y_0(x) + y_(text{*})(x)$
La parte omogenea si risolve associandovi il corrispettivo polinomio caratteristico, ne trovo le soluzioni e in base alla molteplicità scrivo la combinazione lineare delle soluzioni.
Per la soluzione particolare se $f(x)$ ha una forma particolare come:
$f(x)=e^(alphax) * P(x) \{(cos(betax)), (sin(betax)) :}$
Allora controllo prima $alpha + ibeta$, ne determino la molteplicità all'interno del polinomio caratteristico e poi utilizzo la seguente formula:
$y_*(x) = x^m*e(alphax)*(Q_1(x)*cos(betax)+Q_2(x)*sin(betax))$ dove $m$ è la molteplicità.
La domanda riguarda una equazione differenziale lineare del secondo ordine con i coefficienti costanti omogenea, quindi senza la soluzione particolare? Quale integrale generale dovrei utilizzare?
RISOLTO: l'insieme di tutte le soluzioni di un'equazione differenziale prende il nome di INTEGRALE GENERALE.
L'integrale generale dell'equazione omogenea lineare di secondo grado è data da:
$z(t) = c_1z_1(t)+c_2z_2(t)$ con $c_1,c_2 in R$
Risposte
La domanda riguarda l'equazione
\[
a y'' + b y' + c y = 0
\]
con \(a,b,c\in\mathbf{R}\), \(a\neq 0\).
(Omogenea = secondo membro nullo.)
\[
a y'' + b y' + c y = 0
\]
con \(a,b,c\in\mathbf{R}\), \(a\neq 0\).
(Omogenea = secondo membro nullo.)
Capito però io la risolverei soltanto sviluppando la parte omogenea come ho scritto sopra e senza utilizzare nessun integrale.
Ho risolto dopo un pò.
Per integrale generale di un'equazione differenziale, si intende la famiglia di soluzioni.
In questo caso l'integrale generale è: $z(t) = c_1 z_1(t) + c_2 z_2(t)$.
Per integrale generale di un'equazione differenziale, si intende la famiglia di soluzioni.
In questo caso l'integrale generale è: $z(t) = c_1 z_1(t) + c_2 z_2(t)$.
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