Domanda sulle varietà
Ciao a tutti, volevo chiedere una cosa:
Se ho una funzione $F:RR^n->RR^p$ che descrive un luogo di zeri $F=0$, ma facendo i conti trovo che $EE x in RR^n$ tale che $F(x)=0$ ma $det(J_x(F))=0$ (cioè lo jacobiano non ha rango max), posso concludere che allora $F$ NON descrive implicitamente una varietà $n-p$-dimensionale?
Grazie
Se ho una funzione $F:RR^n->RR^p$ che descrive un luogo di zeri $F=0$, ma facendo i conti trovo che $EE x in RR^n$ tale che $F(x)=0$ ma $det(J_x(F))=0$ (cioè lo jacobiano non ha rango max), posso concludere che allora $F$ NON descrive implicitamente una varietà $n-p$-dimensionale?
Grazie
Risposte
No.
Pensa ad esempio a $F(x,y) = (x-y)^2$.
Pensa ad esempio a $F(x,y) = (x-y)^2$.
Hai ragione, perchè in generale alle $F^n$ non si può vedere, ma bisogna farlo sulle $F$, visto che il luogo di zeri coincide ($F^n(x)=0 <=> F(x)=0$).
Prendiamo però la funzione $F(x,y)=(x^2 + y^2)^2 - x^2=0$; risulta che:
1) $F$ non è del tipo $F^n$
2) $det(J(f(0,0)))=0$
3) $F(0,0)=0$
=> ho concluso che $F$ non descrive una varietà.
Ora, che $F$ non descriva una varità è vero (è una curva a forma di "8" che nel nodo non può essere omeomorfa a una retta), MA, secondo il mio prof, queste argomentazioni ( 1) 2) e 3) ) non sono sufficienti per provarlo. Ma perchè????
Prendiamo però la funzione $F(x,y)=(x^2 + y^2)^2 - x^2=0$; risulta che:
1) $F$ non è del tipo $F^n$
2) $det(J(f(0,0)))=0$
3) $F(0,0)=0$
=> ho concluso che $F$ non descrive una varietà.
Ora, che $F$ non descriva una varità è vero (è una curva a forma di "8" che nel nodo non può essere omeomorfa a una retta), MA, secondo il mio prof, queste argomentazioni ( 1) 2) e 3) ) non sono sufficienti per provarlo. Ma perchè????
Prendi $F(x,y) = y^3-x^7$.
..ok hai vinto 
mi puoi spiegare bene allora cosa c'è sotto??? Mi sono incuriosito
Grazie!
mi puoi spiegare bene allora cosa c'è sotto??? Mi sono incuriosito
Grazie!
Puoi vederla come una condizione di trasversalità.
Pensa al caso $F: RR^2\to RR$.
Se $\nabla F(P) \ne 0$, allora il piano tangente al grafico di $F$ in $(P, F(P))$ non è orizzontale; di conseguenza il piano orizzontale a quota $F(P)$ taglierà trasversalmente il grafico di $F$ (almeno in un intorno di $P$).
Taglio trasversale = intersezione che è una curva (almeno localmente).
Se $\nabla F(P) = 0$ può succedere qualsiasi cosa: il taglio, pur non essendo "trasversale", può comunque intersecare il grafico di $F$ lungo una curva regolare (come negli esempi riportati sopra).
Pensa al caso $F: RR^2\to RR$.
Se $\nabla F(P) \ne 0$, allora il piano tangente al grafico di $F$ in $(P, F(P))$ non è orizzontale; di conseguenza il piano orizzontale a quota $F(P)$ taglierà trasversalmente il grafico di $F$ (almeno in un intorno di $P$).
Taglio trasversale = intersezione che è una curva (almeno localmente).
Se $\nabla F(P) = 0$ può succedere qualsiasi cosa: il taglio, pur non essendo "trasversale", può comunque intersecare il grafico di $F$ lungo una curva regolare (come negli esempi riportati sopra).
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