Domanda sulle successioni

[Antomus1]

Perchè una successione divergente positivamente (negativamente) è sempre limitata inferiormente (superiormente), mentre per le funzioni questa proposizione non sempre vale? Io so che nelle successioni è sempre possibile trovare un termine minimo (massimo) ma questo ha qualcosa a che fare col fatto che le successioni sono funzioni definite nell'insieme dei numeri naturali?

So che puo sembrare una domanda stupida, comunque grazie per le risposte

[dissonance]

Il motivo ultimo è che una successione $(a_n)_{n \in NN}$, vista come una funzione $a=a(n)$ di $NN$ in $RR$, è sempre continua.

Infatti, quando $a(n) \to +infty$, tu sai che da un certo indice $N$ in poi risulta $a(n)>a(1)$. Perciò il minimo di ${a(1), a(2), ...}$ coincide con il minimo (se esiste) di ${a(1)...a(N)}$; ora è ovvio che tale minimo esiste, ma se proprio vogliamo essere forbiti, questa è una manifestazione del teorema di Weierstrass. Difatti ${1 ... N}$ è un insieme compatto (ed anzi è proprio il prototipo di insieme compatto).

L'analogo ragionamento per una funzione di $[0, +infty)$ in $RR$ ti porta a questa proposizione:

Proposizione: Sia $f:[0, +\infty)to RR$ continua e tale che $lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$. Allora $f$ ha minimo.

[Antomus1]

Grazie dissonance, sei un mito

[dissonance]

sei un mito

Non esageriamo! In realtà questa è l'idea dietro il teorema di Weierstrass. Diciamo che puoi immaginare gli spazi compatti come un "surrogato" degli insiemi finiti.