Domanda sulle serie non basta sempre usare criterio radice?

[paxpax92]

Salve a tutti ho una domanda che potrà sembrare stupida ma alla quale io per il momento non riesco a dare una risposta se io ho una serie il cui limite $a_n ->0$ significa che la serie potrebbe convergere ma se successivamente applico il criterio della radice ovver faccio il limite della radice n-esima di $a_n$ non mi dovrebbe venire sempre 0?? so che non è vero infatti basta prendere la serie $1/n$ per dimostrare che questa mia convinzione è falsa tuttavia qualcuno mi può spiegare cosa ci sarebbe di sbagliato nel mio ragionamento??
Grazie in anticipo

[dissonance]

E no. \((a_n)^{1/n}\) è in forma indeterminata \(0^0\), quindi a priori non sai a cosa tende (ammesso che tenda a qualcosa).

[paxpax92]

oddio hai ragione..era veramente una domanda stupida ma grazie!

[dissonance]

Non è una domanda stupida. E' interessante riflettere su queste cose per capire il senso del criterio della radice. Grosso modo è una misura della velocità di convergenza a zero di \(a_n\): se \(a_n\) va a zero molto velocemente, esponenzialmente o giù di lì, allora \((a_n)^{1/n}\) tende a un numero più piccolo di \(1\). In questo caso la serie converge.

Il guaio è che tantissime volte \(a_n\) va a zero, ma non così velocemente, e allora \((a_n)^{1/n}\) tende a \(1\). In questi casi il criterio della radice non dice un bel niente.