Domanda sulle primitive di una funzione
Salve a tutti, vorrei porre qualche domanda per farmi un pò di chiarezza su alcuni concetti che sto studiando.
Correggetemi se sbaglio: Data una generica funzione f definita nell'intervallo chiuso [a, b] a valori in R, CONTINUA, essa è certamente integrabile nell'intervallo [a,b]. La continuità tuttavia è condizione SUFFICIENTE ma NON NECESSARIA, poichè se la funzione in esame ha un numero finito di punti di discontinuità eliminabile o a salto, è ancora possibile integrarla secondo Riemann nei vari intervalli dove essa è continua e fare poi la somma di questi.
Data la solita funzione f, la funzione F è una primitiva di f se per ogni x appartenente ad [a, b] F è derivabile (e quindi anche continua) e F'(x) = f(x).
Teorema: Se la solita f è continua, allora f ammette primitiva. La continuità in questo caso è condizione necessaria e sufficiente, o soltanto sufficiente?
Si dimostra che affinchè sia F'(x) = f(x) la funzione f(x) DEVE essere continua, quindi direi che la continuità di f(x) sia condizione necessaria e sufficiente, però quando l'ho chiesto alla prof mi ha detto che è solo sufficiente ma non necessaria. A me sembra piuttosto strano, perchè si dimostra che f(x) deve essere continua. Grazie in anticipo......
Correggetemi se sbaglio: Data una generica funzione f definita nell'intervallo chiuso [a, b] a valori in R, CONTINUA, essa è certamente integrabile nell'intervallo [a,b]. La continuità tuttavia è condizione SUFFICIENTE ma NON NECESSARIA, poichè se la funzione in esame ha un numero finito di punti di discontinuità eliminabile o a salto, è ancora possibile integrarla secondo Riemann nei vari intervalli dove essa è continua e fare poi la somma di questi.
Data la solita funzione f, la funzione F è una primitiva di f se per ogni x appartenente ad [a, b] F è derivabile (e quindi anche continua) e F'(x) = f(x).
Teorema: Se la solita f è continua, allora f ammette primitiva. La continuità in questo caso è condizione necessaria e sufficiente, o soltanto sufficiente?
Si dimostra che affinchè sia F'(x) = f(x) la funzione f(x) DEVE essere continua, quindi direi che la continuità di f(x) sia condizione necessaria e sufficiente, però quando l'ho chiesto alla prof mi ha detto che è solo sufficiente ma non necessaria. A me sembra piuttosto strano, perchè si dimostra che f(x) deve essere continua. Grazie in anticipo......
Risposte
[mod="dissonance"]Ciao aesado, benvenuto nel forum. Per favore, potresti modificare il titolo del tuo messaggio? Consulta il regolamento al punto 3.3: "Il titolo deve indicare l'argomento da discutere ... " . Specifica che parli di primitive, ad esempio "domanda...banale sulle primitive" va bene. Grazie.[/mod]
C'è un errore nelle prime frasi: f(x) non deve essere necessariamente continua come hai giustamente detto tu però non perchè se prensenta punti di discontinuità allora si può integrare secondo Riemann nei vari intervalli dove essa è continua e fare poi la sommatoria di questi (questo infatti si applica nel caso degli integrali DEFINITI). Il vero motivo per cui f(x) può non essere continua è perchè la condizione per cui è definito l'integrale INDEFINITO rimane valida. Infatti F'(x)=f(x) anche se f(x) non è continua. Quello che tu poi chiedi nel Teorema è questo "se f è continua ammette primitiva. E' necessario che f sia continua?" non fai altro che richiedere la stessa condizione cioè se f(x) non è continua F'(x)=f(x)? La risposta è si. Non sono sicuro di essere stato abbastanza chiaro e non sono sicuro della correttezza, aspetterei altre voci per chiarire eventuali miei errori.
Ho modificato il titolo del messaggio, scusami tanto !
@Drogatog: Noi abbiamo dimostrato il teorema F'(x) = f(x), si sostituisce F'(x) con il rapporto incrementale e si ottiene che per avere F'(x) = f(x) bisogna che la f sia continua in x per ogni x appartenente ad [a,b], altrimenti non ottengo l'uguaglianza. Quindi a rigor di logica F'(x) = f(x) se solo se f(x) continua. Ho provato a cercare sui libri di testo ma su questo particolare restano vaghi, solo in uno ho trovato che il teorema "vale solo se f è continua". Però la prof mi ha detto che non è condizione necessaria, solo sufficiente. Vorrei poter chiarire questo discorso...
@Drogatog: Noi abbiamo dimostrato il teorema F'(x) = f(x), si sostituisce F'(x) con il rapporto incrementale e si ottiene che per avere F'(x) = f(x) bisogna che la f sia continua in x per ogni x appartenente ad [a,b], altrimenti non ottengo l'uguaglianza. Quindi a rigor di logica F'(x) = f(x) se solo se f(x) continua. Ho provato a cercare sui libri di testo ma su questo particolare restano vaghi, solo in uno ho trovato che il teorema "vale solo se f è continua". Però la prof mi ha detto che non è condizione necessaria, solo sufficiente. Vorrei poter chiarire questo discorso...
Ok proviamo a usare quello che dici tu. Premetto che mi sto ponendo al tuo stesso livello, se non inferiore, non pretendo di controbattere al fine di convincerti che ho ragione (tanto per chiarire, non si sa mai) semplicemente mi ha incuriosito molto questo quesito.Nell'equazione F'(x)=f(x) sostituiamo a F'(x) il limite del rapporto incrementale (il rapporto incrementale di per se non è la derivata di una funzione).
Tu hai da una parte il limite del rapporto incrementale e dall'altra la funzione f(x). Che è del tutto equivalente a considerare la funzione g(x)=F(x) continua e definita su domF (queste ipotesi non contrastano con la definizione di integrale). Sostituendo con la nuova funzione si ottiene il limite del rapporto incrementale di g= g'(x). Questo mi sembra del tutto legittimo, è la definizione di derivata che non include condizioni di continuità se non alla funzione derivanda. Quindi questo ci porta a concludere che anche f(x) non deve essere continua.
Tu hai da una parte il limite del rapporto incrementale e dall'altra la funzione f(x). Che è del tutto equivalente a considerare la funzione g(x)=F(x) continua e definita su domF (queste ipotesi non contrastano con la definizione di integrale). Sostituendo con la nuova funzione si ottiene il limite del rapporto incrementale di g= g'(x). Questo mi sembra del tutto legittimo, è la definizione di derivata che non include condizioni di continuità se non alla funzione derivanda. Quindi questo ci porta a concludere che anche f(x) non deve essere continua.
Vai tranquillo, siamo qui per confrontarci, no ?!?
Allora provo a scrivere per esteso la dimostrazione:
Dimostriamo che $AA$ x $in$ [a, b] F è derivabile in x e F'(x) = f(x)
Scriviamo F'(x) in forma di rapporto incrementale:
$EE$ $lim_(h->0)(F(x+h)-F(x))/h$ = f(x)
F(x) è una primitiva di f(x) se questo limite è verificato, assumiamo quindi che F(x+h) e F(x) siano funzioni integrali di f, possiamo riscrivere il limite come:
$lim_(h->0)((\int_a^(x+h)f(t)dt)-(\int_a^xf(t)dt))/h$ = $lim_(h->0)(\int_x^(x+h)f(t)dt)/h$ (per le proprietà degli integrali definiti)
Ora, per il teorema della media $EE$ c $in$ [x, x+h] : $\int_x^(x+h)f(t)dt$ = f(c)(x+h-x) = f(c)h
quindi $lim_(h->0)(f(c)h)/h$ = f(c)
Possiamo quindi scrivere $lim_(h->0)(F(x+h)-F(x))/h$ = f(c)
c è un punto che sta nell'intervallo [x, x+h], e quando h tende a 0 f(c) coincide con f(x), ma SOLO SE f è continua
Quindi $EE$ $lim_(h->0)(F(x+h)-F(x))/h$ = f(x) $AA$ x $in$ [a,b]
F'(x) = f(x), ma solo se f è continua.
Questo fatto mi fa supporre che:
1) se F'(x) = f(x) solo se f è continua, la derivata di una primitiva è sempre continua
2) Una funzione per avere primitiva DEVE (condizione necessaria e sufficiente) essere continua
Il dubbio mi è venuto perchè la prof mi ha detto che la continuità è condizione sufficiente ma non necessaria affinchè una funzione abbia primitiva, ma io mi dico ma come è possibile, abbiamo appena dimostrato che se f non è continua non vale l'uguaglianza F'(x) = f(x)......
Allora provo a scrivere per esteso la dimostrazione:
Dimostriamo che $AA$ x $in$ [a, b] F è derivabile in x e F'(x) = f(x)
Scriviamo F'(x) in forma di rapporto incrementale:
$EE$ $lim_(h->0)(F(x+h)-F(x))/h$ = f(x)
F(x) è una primitiva di f(x) se questo limite è verificato, assumiamo quindi che F(x+h) e F(x) siano funzioni integrali di f, possiamo riscrivere il limite come:
$lim_(h->0)((\int_a^(x+h)f(t)dt)-(\int_a^xf(t)dt))/h$ = $lim_(h->0)(\int_x^(x+h)f(t)dt)/h$ (per le proprietà degli integrali definiti)
Ora, per il teorema della media $EE$ c $in$ [x, x+h] : $\int_x^(x+h)f(t)dt$ = f(c)(x+h-x) = f(c)h
quindi $lim_(h->0)(f(c)h)/h$ = f(c)
Possiamo quindi scrivere $lim_(h->0)(F(x+h)-F(x))/h$ = f(c)
c è un punto che sta nell'intervallo [x, x+h], e quando h tende a 0 f(c) coincide con f(x), ma SOLO SE f è continua
Quindi $EE$ $lim_(h->0)(F(x+h)-F(x))/h$ = f(x) $AA$ x $in$ [a,b]
F'(x) = f(x), ma solo se f è continua.
Questo fatto mi fa supporre che:
1) se F'(x) = f(x) solo se f è continua, la derivata di una primitiva è sempre continua
2) Una funzione per avere primitiva DEVE (condizione necessaria e sufficiente) essere continua
Il dubbio mi è venuto perchè la prof mi ha detto che la continuità è condizione sufficiente ma non necessaria affinchè una funzione abbia primitiva, ma io mi dico ma come è possibile, abbiamo appena dimostrato che se f non è continua non vale l'uguaglianza F'(x) = f(x)......
Nessuno sa dirmi dov'è il problema ???
@Drogatog: è vero che la derivabilità implica solo la continuità della funzione che si deriva (se una funzione è derivabile è continua), però con la dimostrazione che ho riportato sopra si arriva a dire che per essere F'(x) = f(x) bisogna che f(x) sia continua, di conseguenza si potrebbe dire che la derivata di ogni primitiva è continua...mi sembra che ci sia qualcosa di sbagliato, ma non capisco dove...
@Drogatog: è vero che la derivabilità implica solo la continuità della funzione che si deriva (se una funzione è derivabile è continua), però con la dimostrazione che ho riportato sopra si arriva a dire che per essere F'(x) = f(x) bisogna che f(x) sia continua, di conseguenza si potrebbe dire che la derivata di ogni primitiva è continua...mi sembra che ci sia qualcosa di sbagliato, ma non capisco dove...
"aesado":No, no, è falso. Esempio: [tex]f(x)=\begin{cases} x^2 \sin\frac{1}{x} & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}[/tex]. Puoi verificare che questa funzione è derivabile ovunque ma con derivata non continua in 0. Allora la funzione [tex]f'[/tex] è ben definita su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex], non è continua, ma ha una primitiva. Trovare una condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di una primitiva non è una cosa semplice. Puoi consultare questa pagina della wikipedia inglese per qualche ulteriore informazione.
2) Una funzione per avere primitiva DEVE (condizione necessaria e sufficiente) essere continua
Ok, quello che non capisco è che si arriva a dimostrare che per essere F'(x) = f(x) bisogna che f sia continua, e questo è dimostrato anche sui libri di analisi, però poi ci sono degli esempi in cui f può anche essere discontinua (come quello che hai fatto tu)...ma come è possibile ??? Sono due cose che sono l'una il contrario dell'altra !
OK forse ci siamo! =D. Provo a riscrivere il teorema della media come lo conosco io, forse sta qui il problema.
premessa: sia $f: [a,b] \to RR$ continua a tratti si dice media integrale di $f: [a,b] \to RR$ il numero:
m(f,a,b) = $(1)/(b-a)$ $\int_{a}^{b} f(x) dx$
Il Teorema della Media integrale dice
sia $f: [a,b] \to RR$ continua a tratti
allora
1) inf x $in$ [a,b] f(x) $<=$ m(f,a,b) $<=$ sup x $in$ [a,b] f(x)
2) se f è continua su [a,b] allora $EE$ x $in$ [a,b] tale che m(f,a,b)=f(xo) quindi m(f,a,b)*(b-a)=$\int_{a}^{b} f(x) dx$
Tu hai usato la seconda premessa che implica per ipotesi la continuità di f
Speriamo di non aver scritto una cazzata ^^
premessa: sia $f: [a,b] \to RR$ continua a tratti si dice media integrale di $f: [a,b] \to RR$ il numero:
m(f,a,b) = $(1)/(b-a)$ $\int_{a}^{b} f(x) dx$
Il Teorema della Media integrale dice
sia $f: [a,b] \to RR$ continua a tratti
allora
1) inf x $in$ [a,b] f(x) $<=$ m(f,a,b) $<=$ sup x $in$ [a,b] f(x)
2) se f è continua su [a,b] allora $EE$ x $in$ [a,b] tale che m(f,a,b)=f(xo) quindi m(f,a,b)*(b-a)=$\int_{a}^{b} f(x) dx$
Tu hai usato la seconda premessa che implica per ipotesi la continuità di f
Speriamo di non aver scritto una cazzata ^^
"aesado":Ma non c'è niente di strano. Il teorema a cui fai riferimento dice: "tutte le funzioni continue hanno una primitiva". Non dice nulla riguarda le altre funzioni: possono averla, possono non averla.
Ok, quello che non capisco è che si arriva a dimostrare che per essere F'(x) = f(x) bisogna che f sia continua, e questo è dimostrato anche sui libri di analisi, però poi ci sono degli esempi in cui f può anche essere discontinua (come quello che hai fatto tu)...ma come è possibile ??? Sono due cose che sono l'una il contrario dell'altra !
@ Drogatog: anche nel teorema della media da te enunciato, finchè non metti per hp che f sia continua non concludi niente e non puoi dimostrare niente, anche perchè se non è continua non puoi applicare il teorema di Weierstrass che diventa fondamentale...
@ dissonance: scusa eh, ma il teorema che ho riportato cita che "se f non è continua non possiamo avere f(c) = f(x)", e quindi non possiamo avere F'(x) = f(x) ma avremmo F'(x) = f(c). E quindi crolla tutto...
Poi scusa una cosa, ma la funzione che hai messo, in x=0 non dovrebbe essere non derivabile ??? la derivata in x=0 è nulla, perchè la derivata di una costante (0 in questo caso) è nulla...
Cito testualmente il mio libro di analisi:
(SECONDO TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE)
Sia f:[a,b] $\rightarrow$ $RR$ una funzione integrabile (in senso proprio o generalizzato), sia z $in$ [a,b] e sia
F(x) = $\int_z^xf(t)dt$
Allora:
1) La funzione F è continua in [a,b]
2) Se inoltre f è continua in [a,b], allora F è derivabile in [a,b], e vale
F'(x) = f(x) per ogni x $in$ [a,b]
Il problema sta nel seguente pezzo, che non ho ben capito:
"Se la funzione integranda f(t) non è continua su tutto I, ma è integrabile in senso generalizzato, in tutti i punti in cui l'integranda è continua, F(x) è derivabile, e F'(x) = f(x).
In sostanza, dove f è discontinua, F è ancora continua, ma non derivabile" (e se F non è derivabile non vale F'(x) = f(x))
Io sinceramente non ho ancora capito cosa intende il libro per "integrabile in senso generalizzato", non mi sembra abbia mai dato una definizione in merito...
@ dissonance: scusa eh, ma il teorema che ho riportato cita che "se f non è continua non possiamo avere f(c) = f(x)", e quindi non possiamo avere F'(x) = f(x) ma avremmo F'(x) = f(c). E quindi crolla tutto...
Poi scusa una cosa, ma la funzione che hai messo, in x=0 non dovrebbe essere non derivabile ??? la derivata in x=0 è nulla, perchè la derivata di una costante (0 in questo caso) è nulla...
Cito testualmente il mio libro di analisi:
(SECONDO TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE)
Sia f:[a,b] $\rightarrow$ $RR$ una funzione integrabile (in senso proprio o generalizzato), sia z $in$ [a,b] e sia
F(x) = $\int_z^xf(t)dt$
Allora:
1) La funzione F è continua in [a,b]
2) Se inoltre f è continua in [a,b], allora F è derivabile in [a,b], e vale
F'(x) = f(x) per ogni x $in$ [a,b]
Il problema sta nel seguente pezzo, che non ho ben capito:
"Se la funzione integranda f(t) non è continua su tutto I, ma è integrabile in senso generalizzato, in tutti i punti in cui l'integranda è continua, F(x) è derivabile, e F'(x) = f(x).
In sostanza, dove f è discontinua, F è ancora continua, ma non derivabile" (e se F non è derivabile non vale F'(x) = f(x))
Io sinceramente non ho ancora capito cosa intende il libro per "integrabile in senso generalizzato", non mi sembra abbia mai dato una definizione in merito...
"aesado":Che cosa crolla? Prova a formulare bene i tuoi dubbi perché io sinceramente non riesco più a capire che cosa non ti è chiaro.
@ dissonance: scusa eh, ma il teorema che ho riportato cita che "se f non è continua non possiamo avere f(c) = f(x)", e quindi non possiamo avere F'(x) = f(x) ma avremmo F'(x) = f(c). E quindi crolla tutto...
Poi scusa una cosa, ma la funzione che hai messo, in x=0 non dovrebbe essere non derivabile ??? la derivata in x=0 è nulla, perchè la derivata di una costante (0 in questo caso) è nulla...Ti contraddici da solo nella stessa frase. La derivata in $x=0$ esiste ed è pari a $0$. Sapresti dimostrarlo? Ti faccio vedere: consideriamo, per [tex]h \in \mathbb{R}, h \ne 0[/tex] , il rapporto incrementale [tex]\frac{f(0+h)-f(0)}{h}= \frac{h^2 \sin \frac{1}{h}}{h}= h \sin \frac{1}{h}[/tex]. Siccome[tex]\forall h \ne 0,\ 0 \le \lvert \sin \frac{1}{h} \rvert \le 1[/tex] , è anche [tex]0 \le \lvert h \sin \frac{1}{h} \rvert \le \lvert h \rvert[/tex] , quindi per il teorema dei due carabinieri [tex]\displaystyle \lim_{h \to 0} h \sin \frac{1}{h} = 0[/tex]. Abbiamo dimostrato che il rapporto incrementale di [tex]f[/tex] in [tex]0[/tex] tende a [tex]0[/tex], ovvero per definizione che [tex]f[/tex] è derivabile in [tex]0[/tex] e che [tex]f'(0)=0[/tex].
Io sinceramente non ho ancora capito cosa intende il libro per "integrabile in senso generalizzato", non mi sembra abbia mai dato una definizione in merito...Con "integrabile in senso generalizzato" si intende in genere una funzione che è integrabile sugli intervalli chiusi e limitati e tale che la funzione integrale sia convergente. Ma non so se è questo che intende il tuo libro. Che libro è?
Eccomi,
Innanzitutto grazie per la disponibilità, il tuo aiuto mi è veramente utile Dopo averci riflettuto ho capito a modo dov'è il mio problema: il punto è questo. Il libro che ho (Analisi Matematica I, Bramanti Pagani Salsa) espone il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale in questo modo:
(SECONDO TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE)
Sia f:[a,b] → ℝ una funzione integrabile (in senso proprio o generalizzato), sia z ∈ [a,b] e sia
F(x) = $\int_z^xf(t)dt$
Allora:
1) La funzione F è continua in [a,b]
2) SE INOLTRE f E' CONTINUA in [a,b], allora F è derivabile in [a,b], e vale
F'(x) = f(x) per ogni x ∈ [a,b]
per passare da F(x) = $\int_z^xf(t)dt$ a F'(x) = f(x) ha dovuto aggiungere "se inoltre f è continua".
Successivamente ribadisce "in sostanza, dove f è discontinua, F è ancora continua, ma non sarà derivabile" (quindi mi sta dicendo che nei punti dove f è discontinua non posso avere F'(x) = f(x), perchè F non è derivabile)
Andiamo ora alla funzione di prima , poniamo $F(x)={(x^2sin(1/x), x!=0),(0, x=0):}$
Questa funzione è continua su $RR$. Veniamo alla derivata, e chiamiamola f(x):
$f(x)={(2xsen(1/x)-cos(1/x), x!=0),(0, x=0):}$
la funzione f(x) in x = 0 presenta un punto di discontinuità di II specie, poichè
$lim_(x->0)(2xsen(1/x)-cos(1/x))/h$ non esiste sia per $x \rightarrow 0^+$ che per $x \rightarrow 0^-$
Quindi f(x) non è continua in x = 0, e stando a quanto dice il libro, siccome f(x) è discontinua in 0, non potrei avere F'(x) = f(x).
Ma nel caso di questa funzione, nonostante f sia discontinua in x=0, F è derivabile in x = 0 (al contrario di quello che dice il libro!)
Come mai ?? Il libro ha generalizzato troppo ???
Innanzitutto grazie per la disponibilità, il tuo aiuto mi è veramente utile
Dopo averci riflettuto ho capito a modo dov'è il mio problema: il punto è questo. Il libro che ho (Analisi Matematica I, Bramanti Pagani Salsa) espone il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale in questo modo:(SECONDO TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE)
Sia f:[a,b] → ℝ una funzione integrabile (in senso proprio o generalizzato), sia z ∈ [a,b] e sia
F(x) = $\int_z^xf(t)dt$
Allora:
1) La funzione F è continua in [a,b]
2) SE INOLTRE f E' CONTINUA in [a,b], allora F è derivabile in [a,b], e vale
F'(x) = f(x) per ogni x ∈ [a,b]
per passare da F(x) = $\int_z^xf(t)dt$ a F'(x) = f(x) ha dovuto aggiungere "se inoltre f è continua".
Successivamente ribadisce "in sostanza, dove f è discontinua, F è ancora continua, ma non sarà derivabile" (quindi mi sta dicendo che nei punti dove f è discontinua non posso avere F'(x) = f(x), perchè F non è derivabile)
Andiamo ora alla funzione di prima , poniamo $F(x)={(x^2sin(1/x), x!=0),(0, x=0):}$
Questa funzione è continua su $RR$. Veniamo alla derivata, e chiamiamola f(x):
$f(x)={(2xsen(1/x)-cos(1/x), x!=0),(0, x=0):}$
la funzione f(x) in x = 0 presenta un punto di discontinuità di II specie, poichè
$lim_(x->0)(2xsen(1/x)-cos(1/x))/h$ non esiste sia per $x \rightarrow 0^+$ che per $x \rightarrow 0^-$
Quindi f(x) non è continua in x = 0, e stando a quanto dice il libro, siccome f(x) è discontinua in 0, non potrei avere F'(x) = f(x).
Ma nel caso di questa funzione, nonostante f sia discontinua in x=0, F è derivabile in x = 0 (al contrario di quello che dice il libro!)
Come mai ?? Il libro ha generalizzato troppo ???
"aesado":Lo conosco. Bello.
(Analisi Matematica I, Bramanti Pagani Salsa)
Ho capito dove ti blocchi. Stai attento che con $F$ lui non intende una qualsiasi primitiva, ma proprio la funzione integrale $x\in [a, b] \mapsto \int_z^xf(t)dt$.
Sia f:[a,b] → ℝ una funzione integrabile (in senso proprio o generalizzato), sia z ∈ [a,b] e sia
F(x) = $\int_z^xf(t)dt$
(quindi mi sta dicendo che nei punti dove f è discontinua non posso avere F'(x) = f(x), perchè F non è derivabile)[size=75][1][/size]Ricordati però che $F$ non è una qualunque primitiva ma la funzione integrale.
Andiamo ora alla funzione di prima , poniamo $F(x)={(x^2sin(1/x), x!=0),(0, x=0):}$Giusto, ma cos'è quella $h$ a denominatore nel passaggio successivo?
Questa funzione è continua su $RR$. Veniamo alla derivata, e chiamiamola f(x):
$f(x)={(2xsen(1/x)-cos(1/x), x!=0),(0, x=0):}$
la funzione f(x) in x = 0 presenta un punto di discontinuità di II specie
Quindi f(x) non è continua in x = 0, e stando a quanto dice il libro, siccome f(x) è discontinua in 0, non potrei avere F'(x) = f(x).NO, il libro non ti dice questo. Il libro ti dice che la funzione integrale $x \mapsto \int _a ^x f(t)\, "d"t $ non è derivabile [size=75][1][/size]. Non ti dà nessuna informazione su $F$.
__________________________________________________________
[1] In realtà non so se si possa dire che $x \mapsto \int_a^x f(t)\,"d"t$ non è derivabile. Se la funzione integranda non è continua, sicuramente può capitare che la funzione integrale non sia derivabile. Ma dire questo è diverso dal dire : "sicuramente la funzione integrale non è derivabile". Fatto sta che nelle applicazioni non ti serve a granché: se la funzione integranda non è continua, non puoi avere informazioni a priori sulla derivabilità della funzione integrale, e questo è l'importante.
Posso suggerire a aesado di meditare sull'esempio riportato qui.
Insomma. se si prende:
[tex]f(x):=\begin{cases} 2x\sin(\frac{1}{x})-\cos(\frac{1}{x}) & \text{, se } x\neq 0 \\
0 & \text{, se } x=0 \end{cases}[/tex]
la [tex]f[/tex] è continua per [tex]x\neq 0[/tex], ha una discontinuità di terza specie in [tex]x=0[/tex] (non esistono né limite destro né limite sinistro) ma è limitata ed integrabile secondo Riemann in ogni compatto; in particolare è limitata ed integrabile in [tex][-\frac{2}{\pi}, \frac{2}{\pi}][/tex].
Allora prendendo
[tex]F(x) = -(\frac{2}{\pi})^2+\int_{-\frac{2}{\pi}}^{x} f(t) \text{ d} t = -(\frac{2}{\pi})^2+\left[ t^2 \sin \frac{1}{t} \right]_{-\frac{2}{\pi}}^x=x^2\sin \frac{1}{x}[/tex]
si definisce una primitiva di [tex]f[/tex] che è derivabile in [tex]0[/tex] anche se [tex]f[/tex] non è continua in [tex]0[/tex]... O sbaglio?
Insomma. se si prende:
[tex]f(x):=\begin{cases} 2x\sin(\frac{1}{x})-\cos(\frac{1}{x}) & \text{, se } x\neq 0 \\
0 & \text{, se } x=0 \end{cases}[/tex]
la [tex]f[/tex] è continua per [tex]x\neq 0[/tex], ha una discontinuità di terza specie in [tex]x=0[/tex] (non esistono né limite destro né limite sinistro) ma è limitata ed integrabile secondo Riemann in ogni compatto; in particolare è limitata ed integrabile in [tex][-\frac{2}{\pi}, \frac{2}{\pi}][/tex].
Allora prendendo
[tex]F(x) = -(\frac{2}{\pi})^2+\int_{-\frac{2}{\pi}}^{x} f(t) \text{ d} t = -(\frac{2}{\pi})^2+\left[ t^2 \sin \frac{1}{t} \right]_{-\frac{2}{\pi}}^x=x^2\sin \frac{1}{x}[/tex]
si definisce una primitiva di [tex]f[/tex] che è derivabile in [tex]0[/tex] anche se [tex]f[/tex] non è continua in [tex]0[/tex]... O sbaglio?
@dissonance:l'h a denominatore non ci va, me lo sono dimenticato
Forse ho capito dove sbaglio. La funzione integrale di f non è comunque una primitiva? Cioè, che differenza c'è tra il dire "funzione integrale di f" e "primitiva di f"?
@Gugo82:
scusa, ma $x^2sin(1/x)$ non è definita in 0, come può essere derivabile in 0 ?
Vi prego di portare pazienza, so che magari faccio domande banali, ma è che vorrei riuscire a capire a modo qual è il problema...
La cosa che non capisco è che quando si dimostra che F'(x) = f(x) si arriva a dire che per essere così bisogna che f sia continua in x, e fin qui tutto bene, però poi salta fuori un esempio dove
$F(x)={(x^2sin(1/x),if x!=0),(0,if x=0):}$
e
$f(x)={(2xsin(1/x)-cos(1/x),if x!=0),(0,if x=0):}$
f(x) è stato ottenuto facendo la derivata di F(x), quindi per forza è una sua primitiva; F'(0)=f(0)=0, nonostante la dimostrazione dica chiaramente che per essere così bisogna che f sia continua in 0....le cose non tornano. Dove sto sbagliando??
Forse ho capito dove sbaglio. La funzione integrale di f non è comunque una primitiva? Cioè, che differenza c'è tra il dire "funzione integrale di f" e "primitiva di f"?
@Gugo82:
scusa, ma $x^2sin(1/x)$ non è definita in 0, come può essere derivabile in 0 ?
Vi prego di portare pazienza, so che magari faccio domande banali, ma è che vorrei riuscire a capire a modo qual è il problema...
La cosa che non capisco è che quando si dimostra che F'(x) = f(x) si arriva a dire che per essere così bisogna che f sia continua in x, e fin qui tutto bene, però poi salta fuori un esempio dove
$F(x)={(x^2sin(1/x),if x!=0),(0,if x=0):}$
e
$f(x)={(2xsin(1/x)-cos(1/x),if x!=0),(0,if x=0):}$
f(x) è stato ottenuto facendo la derivata di F(x), quindi per forza è una sua primitiva; F'(0)=f(0)=0, nonostante la dimostrazione dica chiaramente che per essere così bisogna che f sia continua in 0....le cose non tornano. Dove sto sbagliando??
"aesado":
@Gugo82:
scusa, ma $x^2sin(1/x)$ non è definita in 0, come può essere derivabile in 0?
Effettivamente andava specificato meglio...
La [tex]F(x):=x^2 \sin \frac{1}{x}[/tex] si prolunga con continuità su [tex]0[/tex] ponendo [tex]F(0)=0[/tex]: infatti si ha [tex]$\lim_{x\to 0} F(x)=0$[/tex].
Che poi [tex]F[/tex] sia derivabile in [tex]0[/tex] si vede facendo il limite del rapporto incrementale: invero si ha:
[tex]$F^\prime (0)=\lim_{h\to 0} \frac{F(h)-F(0)}{h}=\lim_{h\to 0} \frac{h^2\sin \frac{1}{h}}{h} =\lim_{h\to 0} h\sin \frac{1}{h}=0$[/tex].
@aesado: Una risposta al volo, prima di andare a dormire.
1) L'esempio che ti propone Gugo è esattamente lo stesso che ti ho proposto io. Quindi vedi di non confonderti perché mi fai fare brutta figura: quello che c'era da dire già è stato detto.
2) A parte queste fesserie, rispondo a
Diremo invece che $F:J \to RR$, con $J$ intervallo contenuto in $I$, è una primitiva di $f$ su $J$ se e solo se $F$ è derivabile e $F'(x)=f(x),\ \forall x \in J$.
Come vedi sono due cose che, almeno a livello di definizione, sono completamente indipendenti l'una dall'altra. Il teorema che stai studiando dice che, se $f$ è continua, la funzione integrale è una primitiva. E basta, non dà informazioni sugli altri casi.
1) L'esempio che ti propone Gugo è esattamente lo stesso che ti ho proposto io. Quindi vedi di non confonderti perché mi fai fare brutta figura: quello che c'era da dire già è stato detto.
2) A parte queste fesserie, rispondo a
La funzione integrale di f non è comunque una primitiva? Cioè, che differenza c'è tra il dire "funzione integrale di f" e "primitiva di f"?E' questo il punto che ti sta creando problemi. "Funzione integrale" e "primitiva" sono due cose profondamente diverse. Data una funzione $f: I \to RR$ (dove $I$ è un intervallo) e un punto $x_0 \in I$, definiamo funzione integrale di $f$ di punto iniziale $x_0$ l'applicazione $x \mapsto int_x_0 ^ x f(t)\, "d"t$ (a patto che sia ben definita, quindi in ipotesi di integrabilità di $f$ almeno in un intorno di $x_0$).
Diremo invece che $F:J \to RR$, con $J$ intervallo contenuto in $I$, è una primitiva di $f$ su $J$ se e solo se $F$ è derivabile e $F'(x)=f(x),\ \forall x \in J$.
Come vedi sono due cose che, almeno a livello di definizione, sono completamente indipendenti l'una dall'altra. Il teorema che stai studiando dice che, se $f$ è continua, la funzione integrale è una primitiva. E basta, non dà informazioni sugli altri casi.
"dissonance":
1) L'esempio che ti propone Gugo è esattamente lo stesso che ti ho proposto io. Quindi vedi di non confonderti perché mi fai fare brutta figura: quello che c'era da dire già è stato detto.
Ah scusa dissonance... Mi sarò perso qualche tuo post.
Menomale che repetita iuvant.
lo sapevo che era lo stesso esempio, pensavo che Gugo82 avesse letto anche i post precedenti e lo stesse ribadendo
Cmq veramente grazie ! adesso ho chiarito i miei dubbi...vi sono debitore
Cmq veramente grazie ! adesso ho chiarito i miei dubbi...vi sono debitore
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