Domanda sulle funzioni lipschitz

[sylar91]

ciao a tutti,ho questo problema qui,devo dimostrare,sapendo che $ f(x) $ e $ g(x) $ sono funzioni lipschitz uniformi in un intervallo finito per $ p in [delta ,1/delta ] $ con $ 00 $ e un $ epsi>0 $ tale che $ (bar(p) -eta)f(p)+g(p)>(bar(p)-eta)f(bar(p))+g(bar(p)) $ $ AA p $ ogni volta che $ 0<(p-bar(p))g(bar(p))-g(p) $ in modo tale che almeno nei numeratori ho la stessa formula che ritrovo nella condizione di lipschitz uniformità,ma ora non riesco ad andare avanti.se riusciste ad aiutarmi ve ne sarei molto grato

[Rigel1]

"sylar91":$ (bar(p) -eta)f(p)+g(p)>(bar(p)-eta)f(bar(p))+g(bar(p)) $ $ AA p $ ogni volta che $ 0<(p-bar(p))
Qui stai dicendo che la funzione \(h(p) := (\bar{p}-\eta)f(p) + g(p)\) ha un punto di minimo relativo stretto in \(p = \bar{p}\).
Non mi sembra che questo sia in generale vero (prendi ad esempio \(f=g=0\)).

[Quinzio]

Onestamente si fa una fatica terribile a dare un senso a questi esercizi (almeno per me).

Di $f(x)$ e $g(x)$ non si sa nulla a parte che sono lipschitziane.

Se io prendo $f(x)=5$ ad esempio, ottengo $g(p)>g(\bar p)$.

Ma è banale trovare $g(x)$ che rende falsa questa disuguaglianza.

Cosa devo dimostrare dunque ?
Sono io che sbaglio qualcosa ?

[sylar91]

ragazzi io sinceramente ho cercato di essere il più chiaro possibile,provo a spiegare meglio quello che il testo intende chiedere proponendo una soluzione che ho provato a darmi ma non credo sia corretta,ma la posto comunque:
dividendo per $ (bar(p)-eta) $ entrambi i membri ho che $ f(p)-f(bar(p))>(g(bar(p))-g(p))/(bar(p)-eta $ ,per cui se $ g(p) $ è lipschitz uniforme,per $ eta=p $ allora non bisognerà far altro che dimostrare che $ f(p)-f(bar(p)) $ assume valori finiti,ma visto che anche la funzione $ f(x) $ è lipschitz uniforme,allora quella differenza assumerà sempre valori finiti nell'intervallo,da cui deriva che, sapendo che $ g(x) $ è lipschitziana allora abbiamo dimostrato la nostra disequazione.

[sylar91]

"Rigel":[quote="sylar91"]$ (bar(p) -eta)f(p)+g(p)>(bar(p)-eta)f(bar(p))+g(bar(p)) $ $ AA p $ ogni volta che $ 0<(p-bar(p))
Qui stai dicendo che la funzione \(h(p) := (\bar{p}-\eta)f(p) + g(p)\) ha un punto di minimo relativo stretto in \(p = \bar{p}\).
Non mi sembra che questo sia in generale vero (prendi ad esempio \(f=g=0\)).[/quote]


non so se hai letto bene,ma $ p $ è sempre diverso da $ bar(p) $ visto che $ 0<(p-bar(p))

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[Rigel1]

"sylar91":...non so se hai letto bene,..

Tranquillo, ho letto bene quello che hai scritto.
Forse sarebbe più semplice capire se tu riportassi verbatim il testo dell'esercizio.

[sylar91]

il mio intento non era rispondere scortesemente,scusa se ho dato questa impressione...comunque il problema è estrapolato da un paper economico sulle funzioni di domanda su cui sto facendo la tesi,per cui più chiaro di come sono stato non riesco,a meno che non posti la parte del testo incriminata per intero...per me che sono un economista la dimostrazione in questione è sembrato molto difficile da risolvere,per voi matematici pensavo sarebbe risultato più semplice,invece dalle risposte mi accorgo che non solo il solo ad essere in difficoltà...magari posto il paper integralmente e vediamo se forse vi risulterà più chiaro

[sylar91]

ecco il testo originale da cui è stata presa la traccia,la parte sottolineata è quella della dimostrazione

[Rigel1]

Quella roba è scritta veramente da schifo (gli autori sono da denuncia penale ).
Ad esempio non si capisce da dove salti fuori \(\bar{p}_1\).
In ogni caso, è possibile che sia io a leggere male (nella def. di \(S\) non vedo bene gli eventuali bar a causa della sottolineatura), ma la correttezza di quello che c'è scritto mi sembra quanto meno dubbia.

[sylar91]

$ S $ non è barrato,e il $ bar(p) $ viene fuori dal fatto che è come $ p $ ma leggermente più piccolo di un $ epsi $.comunque sia penso anche io che sia scritto da schifo,purtroppo ora ho gia iniziato a fare la tesi su sto coso per cui non posso più tirarmi indietro,in qualche modo lo porterò a termine...se mi indicassi qualcuno esperto sia in matematica sia in economia ben disposto verso la misericordia verso uno studente in difficoltà sarebbe il top per risolvere delle dimostrazioni di questo genere!