Domanda sulle equazioni differenziali!
Salve a tutti,
La mia domanda è la seguente: Con una equazione differenziale non omogenea del tipo $y''(x) + y'(x) + y(x) = f(x)$ , se la mia $f(x)$ è una moltiplicazione invece di una addizione tra due funzioni (per esempio $xe^-x$ invece di $x+e^-x$), il procedimento per risolvere la soluzione particolare è lo stesso?
nel caso dell'addizione faccio prima la soluzione particolare della prima e poi della seconda e alla fine nella soluzione finale somme le due soluzioni particolari, ma nel caso della moltiplicazione cosa faccio? la stessa cosa?
Spero di essere stato chiaro!
Grazie mille per il vostro aiuto!
La mia domanda è la seguente: Con una equazione differenziale non omogenea del tipo $y''(x) + y'(x) + y(x) = f(x)$ , se la mia $f(x)$ è una moltiplicazione invece di una addizione tra due funzioni (per esempio $xe^-x$ invece di $x+e^-x$), il procedimento per risolvere la soluzione particolare è lo stesso?
nel caso dell'addizione faccio prima la soluzione particolare della prima e poi della seconda e alla fine nella soluzione finale somme le due soluzioni particolari, ma nel caso della moltiplicazione cosa faccio? la stessa cosa?
Spero di essere stato chiaro!
Grazie mille per il vostro aiuto!
Risposte
"lelinolino":
La mia domanda è la seguente: Con una equazione differenziale non omogenea del tipo $y''(x) + y'(x) + y(x) = f(x)$ , se la mia $f(x)$ è una moltiplicazione invece di una addizione tra due funzioni (per esempio $xe^-x$ invece di $x+e^-x$), il procedimento per risolvere la soluzione particolare è lo stesso?
Casomai determinare, ma vabbé sono errori che capitano...
"lelinolino":
nel caso dell'addizione faccio prima la soluzione particolare della prima e poi della seconda e alla fine nella soluzione finale somme le due soluzioni particolari, ma nel caso della moltiplicazione cosa faccio? la stessa cosa?
Ovviamente no (anche se dovresti specificare cosa intendi per "fare la stessa cosa"; in quanto segue tiro un po' ad indovinare).
"Fare la stessa cosa" significherebbe trovare la soluzione particolare per $f(x)=x$, quella per $f(x)=e^{-x}$ e poi moltiplicarle... Ma si vede che non può funzionare (e puoi anche provare a farlo a mano su quest'esempio).
Valga l'esempio più banale che c'è.
Consideriamo l'equazione lineare non omogenea del primo ordine $y'=2x$, la quale ha evidentemente integrale generale $x^2+c$ (per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale; non occorre scomodare la teoria delle equazioni differenziali).
Tuttavia $2x=2*x$, quindi il tuo "fare la stessa cosa" porterebbe a determinare le soluzioni di $y'=2,\ y'=x$ e moltiplicarle: gli integrali generali delle due equazioni $y'=2,\ y'=x$ sono rispettivamente $2x+c_1$ e $1/2 x^2+c_2$, che moltiplicate danno un polinomio di terzo grado che (tra le altre cose) dipende da due costanti arbitrarie, il quale polinomio non è affatto soluzione dell'equazione originaria $y'=2x$.
Lo stesso succede se il "fare la stessa cosa" si riconduce a sommare i due integrali generali al posto di moltiplicarli...
ho capito.. grazie mille!! mi hai semplificato di molto la vita!! 
Stavo uscendo pazzo!
Stavo uscendo pazzo!
quindi ad esempio..
per questa eq. differenziale $y''(x)+2y'(x)+y(x)=xe^-x$
le soluzioni dell'equazione generale sono 0 e -2
ora per definire la soluzione particolare va bene usare la formula $Yp(x)= Ae^-x (Bx+C)$??
per questa eq. differenziale $y''(x)+2y'(x)+y(x)=xe^-x$
le soluzioni dell'equazione generale sono 0 e -2
ora per definire la soluzione particolare va bene usare la formula $Yp(x)= Ae^-x (Bx+C)$??
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