Domanda sulle derivate ennesime

[giacomo991]

salve.
Date due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ infinitamente derivabili sui reali. Se esiste un punto $x_0$ in cui $f(x_0)=g(x_0)$ e $f^((n))(x_0)=g^((n))(x_0)$ per ogni n naturale (dove $f^((n))$ è la derivata n-esima), si può affermare che le due funzioni sono uguali? A me sembra di si, ma non sono sicuro e non saprei proprio come approcciare il problema in modo più rigoroso. grazie mille

[ingres]

Ciao giacomo99, benvenuto nel Forum.

No, non è detto che le due funzioni siano uguali. Ad es. le due funzioni

$f(x) = {(0 text( se ) x=0), (e^(-1/x^2) text( se ) x ne 0) :}$

$g(x) = 0$

sono infinitamente derivabili, soddisfano la proprietà enunciata per $x_0=0$, ma evidentemente non sono uguali.

[giacomo991]

Grazie della risposta, capisco il tuo controesempio, ma non mi sento pienamente soddisfatto. Pensi che con qualche condizione in più si riesca a rendere vero il teorema?

[ingres]

Si, in generale la funzione deve essere "analitica" https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_analitica, ovvero deve essere sviluppabile in serie di potenze centrate in $x_0$. In questo caso lo sviluppo coincide con lo sviluppo di Taylor e quindi l'uguaglianza delle derivate assicura l'uguaglianza delle funzioni.

Nel caso in oggetto f(x) non è sviluppabile in serie di Taylor in $x_0=0$ perchè il resto dello sviluppo di Taylor non tende a zero aumentando il numero di termini.

[giacomo991]

grazie mille!