Domanda sulla topologia *debole
Questa e' veramente una domanda scema, ma su due piedi non mi viene...
Siano $\mu,\nu$ misure (finitamente additive) di probabilita' su $\mathbb Z$ che sono limite *debole di successioni $\mu_n$ re $\nu_n$ di misure a supporto finito. E' vero che per ogni $f\in L^\infty(\mathbb Z\times\mathbb Z)$ si ha
$\int\int f(x,y)d\mu(x)d\nu(y)=lim_{n\rightarrow\infty}\int\int f(x,y)d\mu_n(x)d\nu_n(y)$
Grazie in anticipo,
V.
Siano $\mu,\nu$ misure (finitamente additive) di probabilita' su $\mathbb Z$ che sono limite *debole di successioni $\mu_n$ re $\nu_n$ di misure a supporto finito. E' vero che per ogni $f\in L^\infty(\mathbb Z\times\mathbb Z)$ si ha
$\int\int f(x,y)d\mu(x)d\nu(y)=lim_{n\rightarrow\infty}\int\int f(x,y)d\mu_n(x)d\nu_n(y)$
Grazie in anticipo,
V.
Risposte
A parte che non ti saprei rispondere, dato che consideri la generica funzione ad ess.sup. finito su un insieme numerabile quale [tex]$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$[/tex], mi spieghi che c'entra il simbolo d'integrale? Al più non dovrebbe comparire una serie? 
OUT OF SELF Magnifica firma sotto!
OUT OF SELF Magnifica firma sotto!
l'integrale e' perche' stiamo parlando di misure. Se vuoi puoi considerare lo stesso problema su uno spazio di misura e cambiare la parola "convergenza *debole" con "convergenza debole delle misure". $L^\infty(\mathbb Z\times\mathbb Z)$ e' semplicemente l'insieme delle funzioni limitate, in quanto la topologia e' discreta.
d'altronde ora che ci penso non mi sembra del tutto evidente che un integrale rispetto a una misura non $\sigma$-additiva su un insieme numerabile si possa scrivere nella forma di una serie... pensa ad esempio semplicemente alla densita' sui numeri interi...
@ubermensh: Ci si rivede...
Ad ogni modo, mi ricordi com'è definita la convergenza *debole per le misure f.a.?
Ad ogni modo, mi ricordi com'è definita la convergenza *debole per le misure f.a.?
ogni tanto ritorno! 
Certamente! si dice che $\mu_n\rightarrow\mu$ se e solo se $\int fd\mu_n\rightarrow\int fd\mu$ per ogni funzione limitata da $\mathbb Z$ a $\mathbb R$. (praticamente guardi alle misure come a un sottoinsieme del duale di $L^\infty$ e definisci la convergenza *debole per spazi duali in maniera standard)
Certamente! si dice che $\mu_n\rightarrow\mu$ se e solo se $\int fd\mu_n\rightarrow\int fd\mu$ per ogni funzione limitata da $\mathbb Z$ a $\mathbb R$. (praticamente guardi alle misure come a un sottoinsieme del duale di $L^\infty$ e definisci la convergenza *debole per spazi duali in maniera standard)
ATTENZIONE: Seguono elucubrazioni a basso indice di attendibilità, tanto per parlare.
A naso, la risposta è no. Perché in genere in questi accoppiamenti si ha $<> to <>$ quando uno dei fattori converge debolmente e l'altro converge fortemente, se convergono solo debolmente tutti e due non basta.
E poi, la proposizione sarebbe vera se $L^infty(ZZ) otimes L^infty(ZZ)$ fosse denso in $L^infty(ZZ times ZZ)$, il che non mi pare proprio.
A naso, la risposta è no. Perché in genere in questi accoppiamenti si ha $<
E poi, la proposizione sarebbe vera se $L^infty(ZZ) otimes L^infty(ZZ)$ fosse denso in $L^infty(ZZ times ZZ)$, il che non mi pare proprio.
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