Domanda sulla dimostrazione di un limite
Il limite in questione e' il seguente:
$lim_(n\to oo) (cos(n!)+3^n+n^(1/n))/((3^n * log n) + 4^(1/n) +n^5)
ho pensato che sfruttando il teorema del confronto sarei riuscito a risolverlo,
per prima cosa ho calcolato il limite di n^1/n per eliminare l indeterminazione che tende a 1
$ lim_(n\to oo)n^(1/n) = lim_(n\to oo) e^(ln n)/n=1
poi mi sono avvalso del teorema del confronto, ovvero limitando la funzione sia superiormente che inferiormente e calcolando i limiti delle due funzioni:
$ lim_(n\to oo) (-1+3^n+n^(1/n))/((3^n * log n) + 4^(1/n) +n^5)<=lim_(n\to oo) (cos(n!)+3^n+n^(1/n))/((3^n * log n) + 4^(1/n)+n^5)<=lim_(n\to oo) (1+3^n+n^(1/n))/((3^n * log n) + 4^(1/n) +n^5)
svolgimento
$lim_(n\to oo) (1+3^n+n^(1/n))/((3^n * log n) + 4^(1/n) +n^5)=
$lim_(n\to oo) (1+3^n+1)/((3^n * log n) + 4^(1/n) +n^5)=
$lim_(n\to oo) (3^n(1+1/3^n+1/3^n))/(3^n(( log n^(3^n))/(3^n) + ((4^(1/n))/(3^n)) +(n^5)/3^n))=
$lim_(n\to oo) (1+1/3^n+1/3^n)/(( log n + (4^(1/n))/3^n +(n^5)/3^n))=
$lim_(n\to oo) (1+0)/(log n+0)=0
analogamente ho risolto il limite della funzione che limitava inferiormente e visto che tendono entrambi a 0 anche la funzione iniziale tende a 0.
che ne dite puo' andare bene come svolgimento?
mi scuso se avete letto prima delle correzioni il post.
$lim_(n\to oo) (cos(n!)+3^n+n^(1/n))/((3^n * log n) + 4^(1/n) +n^5)
ho pensato che sfruttando il teorema del confronto sarei riuscito a risolverlo,
per prima cosa ho calcolato il limite di n^1/n per eliminare l indeterminazione che tende a 1
$ lim_(n\to oo)n^(1/n) = lim_(n\to oo) e^(ln n)/n=1
poi mi sono avvalso del teorema del confronto, ovvero limitando la funzione sia superiormente che inferiormente e calcolando i limiti delle due funzioni:
$ lim_(n\to oo) (-1+3^n+n^(1/n))/((3^n * log n) + 4^(1/n) +n^5)<=lim_(n\to oo) (cos(n!)+3^n+n^(1/n))/((3^n * log n) + 4^(1/n)+n^5)<=lim_(n\to oo) (1+3^n+n^(1/n))/((3^n * log n) + 4^(1/n) +n^5)
svolgimento
$lim_(n\to oo) (1+3^n+n^(1/n))/((3^n * log n) + 4^(1/n) +n^5)=
$lim_(n\to oo) (1+3^n+1)/((3^n * log n) + 4^(1/n) +n^5)=
$lim_(n\to oo) (3^n(1+1/3^n+1/3^n))/(3^n(( log n^(3^n))/(3^n) + ((4^(1/n))/(3^n)) +(n^5)/3^n))=
$lim_(n\to oo) (1+1/3^n+1/3^n)/(( log n + (4^(1/n))/3^n +(n^5)/3^n))=
$lim_(n\to oo) (1+0)/(log n+0)=0
analogamente ho risolto il limite della funzione che limitava inferiormente e visto che tendono entrambi a 0 anche la funzione iniziale tende a 0.
che ne dite puo' andare bene come svolgimento?
mi scuso se avete letto prima delle correzioni il post.
Risposte
cerca di correggere il limite, perchè in quello che hai scritto non compare mail un qualcosa del tipo $n^(1/n)$ o $4^(1/n)$, bensì $n^1/n$ e $4^1/n$, che come vedi, sono molto diverse fra loro...
come non detto, vedo che stai già correggendo
Scusate nessuno sa dirmi se puo' andare bene o meno? tnx
Ad andar bene, va bene.
Però segnalo che sarebbe stato molto più semplice mettere direttamente in evidenza $3^n$ e $3^n log n$ rispettivamente a numeratore e denominatore (i quali, per inciso, sono gli infiniti d'ordine maggiore) poiché, fatte un po' di semplificazioni, ti saresti subito accorto che la successione va a zero come $1/(log n)$... Insomma, del confronto non c'era granchè bisogno, secondo me.
Inoltre, purtroppo, a rigor di logica non puoi sostituire $1$ al posto di $n^(1/n)$ nel limite (né puoi sostituire $0$ al posto di $1/3^n$ o di $4^(1/n)/3^n$ e via dicendo...); ti devi "tenere" $n^(1/n)$ (che poi tanto male non fa, visto che è convergente e, perciò, limitata).
Tienilo presente per i prossimi esercizi.
P.S.: Con i miei superpoteri da mod ho aggiustato anche quelle ultime poche imperfezioni che rimanevano in MathML.
Però segnalo che sarebbe stato molto più semplice mettere direttamente in evidenza $3^n$ e $3^n log n$ rispettivamente a numeratore e denominatore (i quali, per inciso, sono gli infiniti d'ordine maggiore) poiché, fatte un po' di semplificazioni, ti saresti subito accorto che la successione va a zero come $1/(log n)$... Insomma, del confronto non c'era granchè bisogno, secondo me.
Inoltre, purtroppo, a rigor di logica non puoi sostituire $1$ al posto di $n^(1/n)$ nel limite (né puoi sostituire $0$ al posto di $1/3^n$ o di $4^(1/n)/3^n$ e via dicendo...); ti devi "tenere" $n^(1/n)$ (che poi tanto male non fa, visto che è convergente e, perciò, limitata).
Tienilo presente per i prossimi esercizi.
P.S.: Con i miei superpoteri da mod ho aggiustato anche quelle ultime poche imperfezioni che rimanevano in MathML.
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