Domanda sulla derivata e notazione

[ciaomioncino]

Ciao a tutti

Premetto che on sto confondendo quello che è un trick usato in modo spassionato nel primo corso di meccanica conla teoria dell'analisi (thm derivata della funzione inversa), bensì vorrei capire come dimostrarmi questa cosa:

volendo usare la notaizone dy/dx io so che $(f^(-1))'(y_0)=1/(f'(x_0))$ ossia tradotto:

$(f^(-1))'(y)=1/((dy)/(dx))$ che spesso subisce la tortura $=(dx)/(dy)$ va da séche non sia questo scambio di rapporto quel che si fa, però mi lascia incuriosito come dimostrare quello che vedo con un esempio:

se $f(x)=y=2x$ ho che $f^(-1)(y)=x=y/2$ e facendo $(dx)/(dy)$, cioè derivando x nei confrotni di x ho: $d/(dy)(y/2)=1/2$ che viene proprio $(f^(-1))'(y_0)=1/(f'(x_0))=1/2$.


VOrrei quindi dimostrare che $(dx)/(dy)$ è una riscrittura di $(f^(-1))'(y_0)=1/(f'(x_0))$[nota]al pari di $1/((dy)/(dx))$[/nota], però non so bene come fare, come potrei?

grazie

[gugo82]

"ciaomioncino":Grazie mille Gugo! direi che questo mi è perfettamente chairo ora:

[quote="gugo82"]
Ma, allora, se $("d"x^2)/("d"z) = ("d"m(z))/("d"z)$ allora anche $("d"m(z))/("d"z) = 0$ ossia $m(z)$ è costante... Il che non credo fosse quello che intendevi.

esattissimo, era proprio questo ragionamento che volevo dire, non l'ho esplicitato ma era questo. Cioè che apportando quella soluzione mi trovavo una deirvata $("d"m(z))/("d"z)$ nulla,, il che volevo sfruttarlo per dimostrarmi che quella sostituzione era insensata. Sono contendo di averci almeno azzeccato . Grazie mille per l'ordine della risposta molto chiara.

[ciaomioncino]

Buongiorno gugo!:-)

Scusami, ma qui mi sono perso...

scusa te, ci riprovo a spiegarmi in modo più corretto
Quello che volevo dire è che abbiamo appurato che è del tutto insensato pensare che data $g^-1(y)=x$ e il fatto che $g(x)=y$, questa simbologia porti alla possibilità di sostituire a y la g(x) scrivendo: $g^-1(g(x))=x$. Non c'è alcuna sostituzione, proprio per le cose dette prima.

Tuttavia mi accorgevo che prendendo un esempio di funzione data come regola analitica, ossia la classica:
$y=g(x)=3x$ e presa $g^-1(y)=y/3$, in effetti sostituire bellamente la prima nella seconda porta a:
$g^-1(y)$ -> $g^-1(g(x))=(3x)/3=x$, cioè "sostituire" ci dà prorpio la regola della funzione identità:
$g^-1(g(x))=i(x)=x$.

Siccome il mio problema iniziale era sul comprendere che nella scrittura "alla brutta maniera" di una funzione come: $g^-1(y)=x$ non si andasse davvero a sostituire a y il g(x), con questo esempio concreto, sembrava proprio una sostituzione, invece, ossia: sostituisco a $y/3$ la $y=g(x)=3x$. Ma questo sostituire vale perché si tratta di funzioni date in modo analitico appunto.
In poche parole per questo ci vedevo una sostituzione, e da lì mi era sorta l'idea.

Non so se sono stato più chiaro?

secondo te cosa significa $3x+4=2y$?

mi viene da leggerla: "quando tal uguaglianza è soddisfatta?" Quindi come una equazione in due incognite, quindi andando a sostituire le varie x, trovo la y per cui la dupla (x,y) soddisfa l'uguaglianza.

[gugo82]

"ciaomioncino":

Scusami, ma qui mi sono perso...

scusa te, ci riprovo a spiegarmi in modo più corretto
Quello che volevo dire è che abbiamo appurato che è del tutto insensato pensare che data $g^-1(y)=x$ e il fatto che $g(x)=y$, questa simbologia porti alla possibilità di sostituire a y la g(x) scrivendo: $g^-1(g(x))=x$. Non c'è alcuna sostituzione, proprio per le cose dette prima.

Tuttavia mi accorgevo che prendendo un esempio di funzione data come regola analitica, ossia la classica:
$y=g(x)=3x$ e presa $g^-1(y)=y/3$, in effetti sostituire bellamente la prima nella seconda porta a:
$g^-1(y)$ -> $g^-1(g(x))=(3x)/3=x$, cioè "sostituire" ci dà prorpio la regola della funzione identità:
$g^-1(g(x))=i(x)=x$.

Siccome il mio problema iniziale era sul comprendere che nella scrittura "alla brutta maniera" di una funzione come: $g^-1(y)=x$ non si andasse davvero a sostituire a y il g(x), con questo esempio concreto, sembrava proprio una sostituzione, invece, ossia: sostituisco a $y/3$ la $y=g(x)=3x$. Ma questo sostituire vale perché si tratta di funzioni date in modo analitico appunto.
In poche parole per questo ci vedevo una sostituzione, e da lì mi era sorta l'idea.

Non so se sono stato più chiaro?

Mmm... Diciamo di sì, ma con lo studio credo che capirai un po' meglio.

"ciaomioncino":

secondo te cosa significa $3x+4=2y$?

mi viene da leggerla: "quando tal uguaglianza è soddisfatta?" Quindi come una equazione in due incognite, quindi andando a sostituire le varie x, trovo la y per cui la dupla (x,y) soddisfa l'uguaglianza.

Appunto... Il che vuol dire che per quella formula "decentemente formata" stai scegliendo un significato che è ancora altro rispetto a quello che si sta discutendo qui.

Insomma, ti stai ponendo un problema che in astratto è del tipo:

"Date due funzioni $f:A -> C$ e $g:B -> C$, esistono valori della coppia $(x,y) in A xx B$ tali che $f(x)=g(y)$?"

In questo modo hai dato una formulazione astratta di una "semplice" equazione in due incognite.[nota]"Semplice" nel senso che essa separa, ossia isola ai due lati dell'uguale, le due incognite.[/nota]

Ma, a rigore, la formula $f(x)=g(y)$ la posso leggere in tanti modi differenti, a seconda di come sono quantificate le variabili: in altri termini puoi leggerla come:

[list=1][*:l7adum3f] $\forall x \in A,\ \forall y \in B,\ f(x) = g(y)$

[/*:m:l7adum3f]
[*:l7adum3f] $\forall x \in A,\ \exists y \in B:\ f(x) = g(y)$

[/*:m:l7adum3f]
[*:l7adum3f] $\exists x \in A:\ \forall y \in B,\ f(x) = g(y)$

[/*:m:l7adum3f]
[*:l7adum3f] $\forall y \in B,\ \exists x \in A:\ f(x) = g(y)$

[/*:m:l7adum3f]
[*:l7adum3f] $\exists y \in B:\ \forall x \in A,\ f(x) = g(y)$

[/*:m:l7adum3f]
[*:l7adum3f] $\exists x \in A,\ \exists y \in B:\ f(x) = g(y)$[/*:m:l7adum3f][/list:o:l7adum3f]

e quindi così com'è -a meno di non mettersi d'accordo- quella formula lì non ha un significato (perché ce ne ha troppi!).
Un buon esercizio consiste nello spiegare in cosa differiscono le interpretazioni 1-6 e che conseguenze hanno sulle funzioni coinvolte.

[ciaomioncino]

Mmm... Diciamo di sì, ma con lo studio credo che capirai un po' meglio.

L'unica cosa che quindi mi lascia in dubbio è questa:
Prendiamo la solita $g^-1(g(x))=x$ e $g(x)=y$, abbiamo detto che non ha senso sostituire a g(x) interna la y [cioè sostituire alla funzione g(x) la variabile y[nota]passami la brutta spiegazione a parole, ma per intenderci [/nota]] a primo membro: $g^-1(y)=x$ per poi derivare: $d/(dy)(g^-1(y))=d/(dy)(x)$ [A], perché appunto la notazione $m(z)=r$ dà solo nomi agli elementi immagine m(z), che chiamo r e non ha senso come concetto il "sostituire funzioni".



Però [problema], rendendo pratico il tutto con le solite relaizoni analitiche a cui sono avvezzo avrei, chiamando:
$g^-1(g(x))=x$ e $g(x)=3x=y$ da cui $g^-1(y)=y/3=x$
e ora magia:
- sostituisco y=3x in $g^-1(3x)=x$ ho $g^-1(y)=x$
- sostituisco a secondo membro $x=y/3$ avendo: $g^-1(y)=y/3$
- in questo caso, pur facendo una cosa non giusta (cioè compiendo la sostituzione "funzione-variabile") ho posso derivare: $d/(dy)(g^-1(y))=d/(dy)(y/3)$ che è sensatissimo e dà un risultato coerente.

Quindi il mio dubbio è: perché diamine essendo ovviamente scorretto sostituire a y la "funzione g(x)", come ci dimostra [A], però con le funzioni date in forma analitica ottengo cose lecite? Questa cosa mi manda ai matti, era questo che volevo dire prima, ma ci ragiono da giorni e non trovo il busillis.
E' evidente che sbaglio qualcosa, ma cosa? Più ci ragiono più non ci arrivo .

Appunto... Il che vuol dire che per quella formula "decentemente formata" stai scegliendo un significato che è ancora altro rispetto a quello che si sta discutendo qui.

wow mi hai aperto un mondo, è vero. Che scemenza che ho detto.

Quindi quando dicevi "in $g^-1(g(x))=f(y)$ al primo ed al secondo membro non compare la stessa variabile, quindi l'uguaglianza non ha alcun senso", intendevi proprio il caso: $∀x∈A, ∀y∈B, f(x)=g(y)$, corretto?
Questa esprime l'idea di due funzioni uguali.
Mentre la mia, cioè l'equazione è la 6: $∃x∈A, ∃y∈B: f(x)=g(y)$ ove cerco l'esistenza. Mi sembra tornare!
Intanto ragiono sulle restanti 4 , non ci avrei mai pensato, mi hai insegnato una cosa utilissima che proprio non avevo digerito. Grazie GRAZIE!

[gugo82]

Quando poni il [problema] stai ricadendo nel nostro caro vecchio momento g.a.c., già citato precedentemente:

"gugo82":"caro mio, sei tornato al punto di partenza, perché la funzione $f$ è l'inversa di $g$"... Quindi grazie al cavolo che puoi derivare e che $[g^(−1)]^\prime (y)=f^\prime (y)$: stai derivando la stessa funzione chiamata con due nomi diversi.

Per il resto... Sei proprio sicuro che $AAx in A,\ AA y in B,\ f(x) = g(y)$ voglia dire che le due funzioni sono uguali?
Cosa significa che "due funzioni sono uguali"?

[ciaomioncino]

caro vecchio momento g.a.c

mi hai fatto ridere con l'acronimo.
Quello che in realtà volevo denotare con quello che ho scritto, che era solo più ordinata l'idea di cui parlammo, è che non capisco perché in quel caso in effetti funziona sostituire g(x)=y bellamente, quando in realtà come già analizzato NON dovrebbe fuzionare. Cioè, mi lascia con l'amaro in bocca questa cosa, che certe volte vale e certe volte no. E con "certe volte non vale" intendo proprio come mostrato nel pezzo prima di "g.a.c" :

L'unica cosa che quindi mi lascia in dubbio è questa:
Prendiamo la solita $g^-1(g(x))=x$ e $g(x)=y$, abbiamo detto che non ha senso sostituire a g(x) interna la y [cioè sostituire alla funzione g(x) la variabile y a primo membro: $g^-1(y)=x$ per poi derivare: $d/(dy)(g^-1(y))=d/(dy)(x)$ [A], perché appunto la notazione $m(z)=r$ dà solo nomi agli elementi immagine m(z), che chiamo r e non ha senso come concetto il "sostituire funzioni".

questa ambivalenza[nota]possibilità di sostituire e no[/nota] mi fa scapocciare perché mi dico per coerenza o funziona o non funziona. E quindi mi sembra che mi sfugga qualcosa.



Quanto al resto: "Cosa significa che "due funzioni sono uguali"?"
In effetti, ripensandoci meglio, due funzioni sono uguali quando: hanno stesso insieme di definizione (dom), stesso codominio e stessa legge di assegnazione, direi.
Quindi volendo riscrivere la tua affermazione

in g−1(g(x))=f(y) al primo ed al secondo membro non compare la stessa variabile, quindi l'uguaglianza non ha alcun senso

forse dovrei riscriverla come: $∀x∈A,∀y∈A,f(x)=g(y)$ ( o in effetti meglio: $∀x∈A,f(x)=g(x)$ dato che devono agire sullo stesso punto x e dare stessa immagine, per essere uguali), non so, non sono del tutto sicuro . Ma mi sembra la cosa più sensata pensandoci.

Però se corretto, allora non riesco bene a vedere cosa mi rappresenti $∀x∈A,∀y∈B,f(x)=g(y)$; è l'unica che non riesco a visualizzare bene delle sei che hai riportato: forse solo due funzioni costanti "k" sui propri domini rendono vero quello: $∀x∈A,∀y∈B,f(x)=k=g(y)$

[ciaomioncino]

Ho detto stupidate? nevvero?

[gugo82]

Non c'è nessuna ambivalenza: le cose vanno fatte con criterio e non a ç@%%0.
Una sostituzione funziona quando è fatta con criterio; conduce a risultati scorretti negli altri casi.
Lo studio serve a capire quando una cosa è fatta bene e quando no.

Per il resto, $AA x \in A,\ AA y \in B,\ f(x)=g(y)$ non ti può mai dire che $f$ e $g$ sono uguali come funzioni (perché nessuno ti dice che i loro domini siano uguali); però ti dice che, scelto un $x_0 \in A$, hai:

$AA y \in B,\ f(x_0) = g(y)$

cosicché i valori assunti dalla $g$ non dipendono da $y$, i.e. la $g$ è un'applicazione costante (in particolare è la funzione che assume ovunque il valore $c:=f(x_0)$); ma allora comunque scegli $y_0\in B$ hai:

$AA x \in A,\ f(x) = g(y_0) = f(x_0)$

quindi pure i valori di $f$ "non dipendono" da $x$, cioè la $f$ è pure lei costante ed assume lo stesso valore di $g$.
Abbiamo così dimostrato che:

$AA x \in A,\ AA y \in B,\ f(x) = g(y)$ equivale a $EE c in C:\ AA x \in A, f(x) = c ^^ AA y in B, g(y) = c$.

Permane il mistero sul significato delle altre formule.

[ciaomioncino]

Ho apettato un po' a rispondere perché già sono ignorante e se rispondo senza ragionari (con lezioni che finiscono alle 6) faccio ancora più casino. Oggi almeno ho tempo di soffermarmici di più.

Per "il significato delle altre formule", non le ho tralasciate, poverine , solo non voglio mettere troppa carne al fuco e prima volevo dipanare i dubi già aperti per continure sulle altre.

Entrando nel vivo:

1)

Una sostituzione funziona quando è fatta con criterio; conduce a risultati scorretti negli altri casi.

sacrosanto, e con aleatorio intendevo proprio questo: se ci vedo aleatorietà mi segnala che qualcosa non va. Il ragionamento è: siccome opero lo stesso tipo di sostituzione nei due esempi che avevo fatto (e rimetto qui sotto in spoiler per comodità) non capisco perché una volta funziona e l'altra no. Questo mi fa concludere due cose:
- una volta funziona e l'altra no per puro caso, cioè, la sostituzione di per sé è insensata e per colpo di Cùl0 funziona una volta perché mi riporta al caso g.a.c in modo implicito.
- sono due sostituzioni diverse, e dove tale sostituzione funziona è lecita e dove non funziona no (ma a me onestamente sembrano uguali così poste, quindi poropendo per la prima scelta).

Quindi quello che voglio dire è che, il fatto che una volta fuznioni e l'altra no SEGNALA un problema, ma non riesco a vedere quale sia. Ed è lì che mi incaponisco.

Proprio per questo scrivevo:

CASO A

L'unica cosa che quindi mi lascia in dubbio è questa:
Prendiamo la solita $g^-1(g(x))=x$ e $g(x)=y$, abbiamo detto che non ha senso sostituire a g(x) interna la y [cioè sostituire alla funzione g(x) la variabile y[nota]passami la brutta spiegazione a parole, ma per intenderci [/nota]] a primo membro: $g^-1(y)=x$ per poi derivare: $d/(dy)(g^-1(y))=d/(dy)(x)$ [A], perché appunto la notazione per una generica funzione h: $h(z)=r$ dà solo nomi agli elementi immagine h(z), che chiamo r e non ha senso come concetto il "sostituire funzioni".
questa non correttezza di "sostituzione" è avvallata dal seguente ragionamento:
prendiamo $f(x)=y$ e mettiamo di sapere che $m(z)=y$, se potessi sostituire impunemente y della prima avrei:
$f(x)=y => f(x)=m(z)$, a questo punto potrei derivare il II membro avendo: $(d(f(x)))/(dz)=(d(m(z)))/(dz)$. Quindi mentre il II membro mi sembra sensato il I no, perché derivo in z qualcosa che dipende da x, e quindi la sostituzione pare non valere.

Questi esempi mi sembrano dire "hey, ragazzo, se hai una generica f(m(x))=z e m(x)=y non puoi sostituire f(y)=z e poi giocare con le derivazioni come vuoi tu, proprio perché la scrittura f(m(x))=z nasconde varie cosette (discusse prima da noi)"

CASO B

Però [problema]... rendendo pratico il tutto con le solite relaizoni analitiche a cui sono avvezzo avrei, chiamando:
$g^-1(g(x))=x$ e $g(x)=3x=y$ da cui $g^-1(y)=y/3=x$
e ora magia:
- sostituisco y=3x in $g^-1(3x)=x$ ho $g^-1(y)=x$
- sostituisco a secondo membro $x=y/3$ avendo: $g^-1(y)=y/3$
- in questo caso, pur facendo una cosa non giusta (cioè compiendo la sostituzione "funzione-variabile") ho posso derivare: $d/(dy)(g^-1(y))=d/(dy)(y/3)$ che è sensatissimo e dà un risultato coerente.

Quindi il mio dubbio è: perché diamine essendo ovviamente scorretto sostituire a y la "funzione g(x)", come ci dimostra il caso [A], però con le funzioni date in forma analitica caso ottengo cose lecite? Questa cosa mi manda ai matti, era questo che volevo dire prima, ma ci ragiono da giorni e non trovo il busillis.
E' evidente che sbaglio qualcosa, ma cosa? Più ci ragiono più non ci arrivo .

Il concetto usato nei due "casi A/B" di sostituzione mi pare il medesimo, ma in un caso (il B) finisco nel cosidetto g.a.c. in uno invece finisco in qualcosa che non funziona (caso A). E qui si apre il dubbio che dicevo fuori spoiler, che non riesco a individure il motivo di questa "ambivalenza": io compio la stessa sostituzione errata nei due casi .

L'idea che mi sono fatto è che quando le funzioni sono date in modo analitico, quelle sostituzioni funzionano, perché ti dà già la regola (cioè la funzione) la scrittura analitica. Ma non so se sia corretta come conclusione che mi sono dato.

potrei riassumere dicendo che la domanda di base è: ma quale è la differenza tra i due casi A e il B nello spoiler? Perché io non ne vedo, è la stessa sostituzione sbagliata. E' lì che mi incastro.


2)

Per il resto, ∀x∈A, ∀y∈B, f(x)=g(y)

grazie per la chiarezza, sì direi che mi torna, era quello che maldestramente cercavo di dimostrare dicendo: "con $∀x∈A,∀y∈B,f(x)=g(y)$ forse solo due funzioni costanti "k" sui propri domini rendono vero questa proposizione, ossia: $∀x∈A,∀y∈B,f(x)=k=g(y)$". Che avevo capito intuitivamente, mentre ora ho capito come procedere formalmente col pensiero.

Volevo porti una domanda su questa prima di passare alle altre, se ho ben capito, dato che vi è arbitrarietà di x e y scelte ho anche una commutività dei quantificatori? cioè intendo:
$∀x∈A, (∀y∈B, f(x)=g(y))$ per l'arbitrarietà di x e y è identico a scrivere: $∀y∈B, (∀x∈A, f(x)=g(y))$, giusto?

grazie ancora per tutto l'aiuto!

[gugo82]

Se ancora non vedi dov'è l'inghippo, meglio che rileggi il thread da capo.

Per il resto, sì: i quantificatori universali li puoi scambiare di posto.

[ciaomioncino]

Se ancora non vedi dov'è l'inghippo, meglio che rileggi il thread da capo.

uhm , il fatto è che lo rileggo quotidianamente, e mi sembra di aver capito l'errore, che esattamente questo:

Le uguaglianze z=f(y) e y=g(x) non servono ad identificare delle funzioni1, ma a dare il nome a particolare elementi dei loro insiemi immagine, i.e. a chiarire unicamente la "legge di corrispondenza"; in altre parole, l'uguaglianza z=f(y) serve a dire che il simbolo z serve ad indicare il particolare elemento dell'insieme immagine im(f)=f(Y) che corrisponde ad y∈Y mediante f (e, mutatis mutandis, analogo discorso vale per y=g(x)).
Le uguaglianze f(y)=z e g(x)=y hanno la stessa pecca di quelle di cui sopra.

che mi hai chiaramente spiegato in questo quote.

però a me sembra che nei tre casi dello spoiler del mio ultimo messaggio (pagina precedente) tratto appunto y=g(x) come se andassi a sostituirla, nei tre casi nello stesso modo. E questo è errato, proprio per quanto discusso, non esistendo alcuna sostituzione.
In poche parole la mia domanda è: "ma quale è la differenza nei tre casi? Io faccio la stessa cosa, ma in B funziona". Mi sfugge proprio perché ci sia una differenza, non la vedo.


******

Permane il mistero sul significato delle altre formule.

siccome mi dicevi che mancava questa parte di risposta alla tua domanda, provvedo ora:

1. $∀x∈A, ∀y∈B, f(x)=g(y)$: discussa

2. $∀x∈A, ∃y∈B: f(x)=g(y)$: questo dice che per ogni x fissato, esiste un y tale che f(x)=g(y), quindi posto x0 ho che un certo y0 rende vera: $f(x_0)=g(x_0)$, non so quale diamine di funzioni f e g rendano vero questo, ma quando succede vale l'uguaglianza.

3. $∃x∈A: ∀y∈B, f(x)=g(y)$: qui invece ci dice che esiste un x0 in A per cui qualsiasi valore di y rende vero che $f(x_0)=g(y)$, un esempio può essere anche qui la funzione costante f e g, nel senso che esiste in quel caso un certo x per cui qualunque y rende vero $c:=f(x_0)=g(y)$
(la funzione f e g costanti pari a c soddistano la 3.)

4. $∀y∈B, ∃x∈A: f(x)=g(y)$: questo è uguale a 2 solo invertito su f e g.

5. $∃y∈B: ∀x∈A, f(x)=g(y)$: questa è come 3 ma invertito.

6. $∃x∈A, ∃y∈B: f(x)=g(y)$: questa equivale alla cosa che dicevi tu: "Date due funzioni f:A→C e g:B→C, esistono valori della coppia (x,y)∈A×B tali che f(x)=g(y)" e un esempio concreto è proprio: $3x+4=2y$.

Mi sembrano funzionare no? O sbaglio?

[ciaomioncino]

Solo per dire che...

Il fatto è che non vorrei che non abbia spiegato fin dall'inizio bene, volevo solo capire la differenza che riportavo sopra.

Nel senso:
1) avere questo $g^-1(g(x))=x$ e questo $g(x)=y$ e "sostituire" (y a $g(x)$) la seconda nella prima è sbagliato $g^-1(y)=x$, lo dimostra la 2)
2) perché è come avere questo: $f(x)=y$ e questo $m(z)=y$ e sostituire la II nella I (cioè a y della prima sostituire $m(z)$) ottenendo $f(x)=m(z)$ che è insensato

Risultato NON si sostituiscono nelle notazioni le y alle f(x) se y=f(x)!

ma se questo è il risultato dedotto:
3) non si possono ripetere queste tipologie sostituzioni in $g^-1(g(x))=x$ e $g(x)=3x=y$ ma

$g^-1(g(x))=x$ e $g(x)=3x=y$ da cui $g^-1(y)=y/3=x$
e ora magia:
- sostituisco y=3x in $g^-1(3x)=x$ ho $g^-1(y)=x$
- sostituisco a secondo membro $x=y/3$ avendo: $g^-1(y)=y/3$
- in questo caso, pur facendo una cosa non giusta (cioè compiendo la sostituzione "funzione-variabile") ho posso derivare: $d/(dy)(g^-1(y))=d/(dy)(y/3)$ che è sensatissimo e dà un risultato coerente.

Il mio problema è che queste sostituzioni ho capito che sono errate, ma on capisco allora perché in quel caso funzioni.
***
Per la seconda parte del post invece?

[ciaomioncino]

Posso chiedervi se la soluzione di questo empasse è che dobbiamo sapere cosa stiamo facendo, nel senso che mascherata dietro la semplice e "simile "sostituzione" dei due casi di sopra si mascherano due cose diverse:

Nella 1) e 3) qui sopra:
in effetti funziona il sostituire perché di fatto vuol dire: date le solite $g^-1(g(x))=x$ e $g(x)=y$ scrivere $g^-1(y)=x$ ha senso perché in modo nascosto ci stiamo riportando alla funzione inversa. Quindi l'errata sostituzione in realtà ha una spiegazione formale in tal senso.

Mentre la 2):
cioè, sostituire alla y della $f(x)=y$ la $y=m(z)$ ottenendo $f(x)=m(z)$ non ha proprio senso, perché dietro di essa non si nasconde nulla di sensato.

Quindi è vero che sembrano cose simili, ma sono due mondi completamente diversi perché in modo nascosto stiamo facendo due cose diverse, anche se sembra sempre una "sostituzione" di y=m(z) o y=g(x).
Il significato nascosto di ciò che facciamo è importante.

Volevo solo capire se questo volevi dire @gugo82, almeno posso chiudere sta faccenda