Domanda sulla convessità di una funzione

[qwerty901]

Salve!
Mi sto confondendo sulla definizione di funzione convessa perchè mi ritrovo con 2 definizioni simili. Ho anche cercato un'interpretazione grafica ma chiedo per sicurezza.

Prima definizione:
Sia $f$ derivabile in $I$. Allora $f$ è convessa su $I$ se e solo se $AA x_0 in I$ si ha :
$f(x) >= f(x_0) + f^{\prime}(x_0) (x-x_0) $ , $AA x in I$

Seconda definizione:
Sia $f$ derivabile in $I$. Allora $f$ è convessa su $I$ se e solo se presi 2 punti $x_1$, $x_2$ si ha :
$f(x) <= f(x_1) + frac{f(x_2)- f(x_1)}{x_2 - x_1}* (x-x_1)$

[gugo82]

Nessuna delle due che proponi è la "vera" definizione di funzione convessa: la prima è una proprietà delle funzioni convesse derivabili; la seconda è quasi la definizione giusta, ma mancano dei pezzi (in particolare, chi è [tex]$x$[/tex]?)...

La definizione di funzione convessa è la seguente:

Una funzione [tex]$f:I\to \mathbb{R}$[/tex] (qui [tex]$I\subseteq \mathbb{R}$[/tex] è un intervallo) si dice convessa se e solo se per ogni coppia di punti [tex]$x\leq y\in I$[/tex] e per ogni [tex]$\lambda \in [0,1]$[/tex] si ha:

[tex]$f\left( \lambda \ x+(1-\lambda)\ y\right) \leq \lambda \ f(x)+(1-\lambda)\ f(y)$[/tex].

Detto in altre parole [tex]$f$[/tex] è convessa se, fissati [tex]$x< y\in I$[/tex], comunque prendi un punto [tex]$z\in [x,y]$[/tex] hai:

[tex]$f(z)\leq \frac{y-z}{y-x} \ f(x) + \frac{z-x}{y-x} \ f(y) = f(y)+\frac{f(y)-f(x)}{y-x} \ (z-y)$[/tex].

N.B.: Quest'ultima proprietà (che è la tua "seconda definizione") discende dalla "vera" definizione, giacché ogni [tex]$z\in [x,y]$[/tex] si scrive (in unico modo) come combinazione convessa di [tex]$x$[/tex] ed [tex]$y$[/tex], cioè come [tex]$\lambda \ x+(1-\lambda )\ y$[/tex] con [tex]$\lambda =\frac{y-z}{y-x}$[/tex].
Inoltre, essa ha un'ovvia interpretazione geometrica: ti dice che nell'intervallo [tex]$[x,y]$[/tex] il grafico di [tex]$f$[/tex] non sta mai sopra la retta passante per i punti [tex]$(x,f(x))$[/tex] e [tex]$(y,f(y))$[/tex].
Ad esempio:

[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=0;ymax=4;
axes("labels","grid");
plot("x^2",-2,2);
text([-0.5,0.25],"(x, f(x))",left);
text([1.5,2.25],"(y, f(y))",left);
stroke="red";
plot("x^2",-0.5,1.5);
dot([-0.5,0.25]);
dot([1.5,2.25]);
stroke="dodgerblue";
plot("x+0.75",-2,3);[/asvg]

con [tex]$f(t)=t^2$[/tex], [tex]$x=-\frac{1}{2}$[/tex], [tex]$y=\frac{3}{2}$[/tex].


P.S.: Se sei un matematico cui piace l'Analisi, ti consiglio di studiare bene le proprietà delle funzioni convesse: la convessità sembra una proprietà "fessa", ma invece è importantissima!

[dissonance]

la convessità sembra una proprietà "fessa"

Vero!!! Anche io all'inizio ebbi questa impressione. Chissà a cosa è dovuta...

[qwerty901]

"gugo82":Nessuna delle due che proponi è la "vera" definizione di funzione convessa: la prima è una proprietà delle funzioni convesse derivabili; la seconda è quasi la definizione giusta, ma mancano dei pezzi (in particolare, chi è [tex]$x$[/tex]?)...

La definizione di funzione convessa è la seguente:

Una funzione [tex]$f:I\to \mathbb{R}$[/tex] (qui [tex]$I\subseteq \mathbb{R}$[/tex] è un intervallo) si dice convessa se e solo se per ogni coppia di punti [tex]$x\leq y\in I$[/tex] e per ogni [tex]$\lambda \in [0,1]$[/tex] si ha:

[tex]$f\left( \lambda \ x+(1-\lambda)\ y\right) \leq \lambda \ f(x)+(1-\lambda)\ f(y)$[/tex].

Detto in altre parole [tex]$f$[/tex] è convessa se, fissati [tex]$x< y\in I$[/tex], comunque prendi un punto [tex]$z\in [x,y]$[/tex] hai:

[tex]$f(z)\leq \frac{y-z}{y-x} \ f(x) + \frac{z-x}{y-x} \ f(y) = f(y)+\frac{f(y)-f(x)}{y-x} \ (z-y)$[/tex].

N.B.: Quest'ultima proprietà (che è la tua "seconda definizione") discende dalla "vera" definizione, giacché ogni [tex]$z\in [x,y]$[/tex] si scrive (in unico modo) come combinazione convessa di [tex]$x$[/tex] ed [tex]$y$[/tex], cioè come [tex]$\lambda \ x+(1-\lambda )\ y$[/tex] con [tex]$\lambda =\frac{y-z}{y-x}$[/tex].
Inoltre, essa ha un'ovvia interpretazione geometrica: ti dice che nell'intervallo [tex]$[x,y]$[/tex] il grafico di [tex]$f$[/tex] non sta mai sopra la retta passante per i punti [tex]$(x,f(x))$[/tex] e [tex]$(y,f(y))$[/tex].
Ad esempio:

[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=0;ymax=4;
axes("labels","grid");
plot("x^2",-2,2);
text([-0.5,0.25],"(x, f(x))",left);
text([1.5,2.25],"(y, f(y))",left);
stroke="red";
plot("x^2",-0.5,1.5);
dot([-0.5,0.25]);
dot([1.5,2.25]);
stroke="dodgerblue";
plot("x+0.75",-2,3);[/asvg]

con [tex]$f(t)=t^2$[/tex], [tex]$x=-\frac{1}{2}$[/tex], [tex]$y=\frac{3}{2}$[/tex].

Grazie mille per i chiarimenti.

"gugo82":
P.S.: Se sei un matematico cui piace l'Analisi, ti consiglio di studiare bene le proprietà delle funzioni convesse: la convessità sembra una proprietà "fessa", ma invece è importantissima!

Sono un aspirante ingegnere meccanico a cui piace l'analisi, vale lo stesso?

Ora ti vorrei chiedere un'ultima cosa sulla convessità che non ho capito:

La dimostrazione che:
Una funzione $f(x)$ , con $f^('') (x) >= 0$ in $(a,b)$ è convessa.

Se $f^('') (x) >= 0 -> f'(x)>=0$ nell'intervallo $(a,b)$.
Prendiamo due punti $x_1$ e $x_2$ in $(a,b)$ con $x_1 < x_2$
Sia $x in (x_1,x_2)$. Per il teorema di Lagrange risulta:
$f(x) = f(x_1) + f^{\prime}(z)(x-x_1)$
dove $z$ è un punto compreso tra $x_1$ e $x$.Poichè $f^{\prime}$ è crescente, e $x>x_1$, si ha allora
$f(x) <= f(x_1) + f^{\prime}(x) (x-x_1)$
ecc....
Bene non ho capito quest'ultimo passaggio...come determina quella disuguaglianza?

[Luca.Lussardi]

Avevi fatto un po' di pasticci con mathml... ho corretto.

Quanto alla disuguaglianza non discende da $z

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[qwerty901]

"Luca.Lussardi":Avevi fatto un po' di pasticci con mathml... ho corretto.

Quanto alla disuguaglianza non discende da $z

veramente non ho pensato a $z$...nella disuguaglianza non compare $z$...
Io so solo che:
$x0$
e da qui segue:
$f(x)<= f(x_1) + f^{\prime}(x)(x-x_1)$ che non capisco...

[Luca.Lussardi]

$f(x)=f(x_1)+f'(z)(x-x_1) \le f(x_1)+f'(x)(x-x_1)$ dal momento che $f'(z)\le f'(x)$ e $x \ge x_1$.