Domanda sulla convergenza totale
salve
ho una serie di potenza (la generalizzo) di questo tipo:
$ \sum a_n x (y^n)$
con $y = f(x)$
faccio lo studio della serie
ovvero raggio di convergenza e insieme di convergenza
mi si chiede di trovare anche quella totale.
per avere una conv totale potrei maggiorare la serie di partenza con una convergente, e affermare che essa conv anche all'estremo.
ora se mi trovo davanti un insieme di convergenza del tipo:
$(0,+oo)$
e devo vedere agli estremi (altra domanda: si fa solo per $x=0$ o ha senso provare anche su $x=+oo$? se si, perchè?)
per $x=0$ viene somma nulla, vi trovate? (è un dubbio che mi assale, e vorrei togliermelo e capire se è corretto poi di parlare di NON convergenza totale in questo caso...)
spero sia stato chiaro.
ho una serie di potenza (la generalizzo) di questo tipo:
$ \sum a_n x (y^n)$
con $y = f(x)$
faccio lo studio della serie
ovvero raggio di convergenza e insieme di convergenza
mi si chiede di trovare anche quella totale.
per avere una conv totale potrei maggiorare la serie di partenza con una convergente, e affermare che essa conv anche all'estremo.
ora se mi trovo davanti un insieme di convergenza del tipo:
$(0,+oo)$
e devo vedere agli estremi (altra domanda: si fa solo per $x=0$ o ha senso provare anche su $x=+oo$? se si, perchè?)
per $x=0$ viene somma nulla, vi trovate? (è un dubbio che mi assale, e vorrei togliermelo e capire se è corretto poi di parlare di NON convergenza totale in questo caso...)
spero sia stato chiaro.
Risposte
[OT, terminologico]
Sei proprio sicuro che quella serie sia "di potenza"?
Non è che per caso è "di Matera"? Tra lucani ci si confonde...
Detto in termini più seri (!), si dice serie di potenze (perchè gli addendi sono proporzionali alle potenze successive della variabile); ma nel tuo caso è addirittura più appropriato scrivere serie riconducibile ad una serie di potenze.
[/OT]
Ad ogni buon conto, puoi consultare questi miei appuntini: non sono il massimo, ma possono aiutare.
Sei proprio sicuro che quella serie sia "di potenza"?
Non è che per caso è "di Matera"? Tra lucani ci si confonde...
Detto in termini più seri (!), si dice serie di potenze (perchè gli addendi sono proporzionali alle potenze successive della variabile); ma nel tuo caso è addirittura più appropriato scrivere serie riconducibile ad una serie di potenze.
[/OT]
Ad ogni buon conto, puoi consultare questi miei appuntini: non sono il massimo, ma possono aiutare.
dimentico semper questo particolare gugo
ho letto quegli appunti, ma mi trovo in un caso come quello esposto, che io ho trattato e vorrei qualche illuminazione.
quando la 'x' può essere portata fuori....crea seri problemi alla serie?
tipo.
ho una serie tipo: $y=e^(-x)$
$a_n = (-1)^n n/(n^2 +1)$
con $x=0$ (estremo di convergenza 'semplice') mi crea problemi alla somma? [perchè il termine $a_n$ convergerebbe....] ma c'è quel $x$ che mi annulla la somma :S e non so dire se in quel caso converge totalmente!
ho letto quegli appunti, ma mi trovo in un caso come quello esposto, che io ho trattato e vorrei qualche illuminazione.
quando la 'x' può essere portata fuori....crea seri problemi alla serie?
tipo.
ho una serie tipo: $y=e^(-x)$
$a_n = (-1)^n n/(n^2 +1)$
con $x=0$ (estremo di convergenza 'semplice') mi crea problemi alla somma? [perchè il termine $a_n$ convergerebbe....] ma c'è quel $x$ che mi annulla la somma :S e non so dire se in quel caso converge totalmente!
No.
Gli addendi, che sono del tipo \(a_n\ xe^{-nx}\), sono tutti nulli in \(0\); quindi la serie converge in tale punto.
Ma, a scanso di equivoci, tieniti \(x\) dentro la serie e studiati la convergenza totale col metodo "standard" per le serie di funzioni.
Si vede che la serie converge puntualmente se \(x\geq 0\) (perché se \(x>0\), gli addendi vanno a zero esponenzialmente con \(n\), mentre se \(x<0\) non è soddisfatta la condizione necessaria; del comportamento in \(0\) si è già detto sopra).
Per vedere se la convergenza è totale, devi calcolare:
\[
M_n:= \sup_{x\geq 0} |a_n\ xe^{-nx}| = \sup_{x\geq 0} \frac{n}{n^2+1}\ xe^{-nx} = \frac{n}{n^2+1}\ \sup_{x\geq 0} xe^{-nx}
\]
e vedere se per caso \(\sum M_n\) converge; se lo fa, la convergenza è totale in \([0,+\infty[\), altrimenti non lo è e devi andare a guardare cosa succede su pezzi "più piccoli" dell'insieme di convergenza.
Per determinare \(M_n\) basta fare uno studio di funzione di massima: dato che la funzione \(\phi_n(x):= xe^{-nx}\) è infinitesima all'infinito, essa prende sicuramente massimo assoluto positivo in \([0,+\infty[\); dato che:
\[
\phi_n^\prime (x) = e^{-nx} (1-nx)
\]
l'unico punto stazionario di \(\phi_n\) è il suo massimo assoluto ed è in \(x_n:=1/n\); quindi:
\[
M_n = \frac{n}{n^2+1}\ \sup_{x\geq 0} xe^{-nx} = \frac{n}{n^2+1}\ \phi_n(x_n) = \frac{\cancel{n}}{n^2+1}\ \frac{1}{\cancel{n}\ e} = \frac{1}{e(n^2+1)}\; .
\]
Dato che la serie \(\sum M_n\) è asintoticamente equivalente a(d un multiplo de)lla serie armonica gneralizzata con esponente \(2>1\), essa converge; dunque la serie assegnata converge totalmente in \([0,+\infty[\).
Gli addendi, che sono del tipo \(a_n\ xe^{-nx}\), sono tutti nulli in \(0\); quindi la serie converge in tale punto.
Ma, a scanso di equivoci, tieniti \(x\) dentro la serie e studiati la convergenza totale col metodo "standard" per le serie di funzioni.
Si vede che la serie converge puntualmente se \(x\geq 0\) (perché se \(x>0\), gli addendi vanno a zero esponenzialmente con \(n\), mentre se \(x<0\) non è soddisfatta la condizione necessaria; del comportamento in \(0\) si è già detto sopra).
Per vedere se la convergenza è totale, devi calcolare:
\[
M_n:= \sup_{x\geq 0} |a_n\ xe^{-nx}| = \sup_{x\geq 0} \frac{n}{n^2+1}\ xe^{-nx} = \frac{n}{n^2+1}\ \sup_{x\geq 0} xe^{-nx}
\]
e vedere se per caso \(\sum M_n\) converge; se lo fa, la convergenza è totale in \([0,+\infty[\), altrimenti non lo è e devi andare a guardare cosa succede su pezzi "più piccoli" dell'insieme di convergenza.
Per determinare \(M_n\) basta fare uno studio di funzione di massima: dato che la funzione \(\phi_n(x):= xe^{-nx}\) è infinitesima all'infinito, essa prende sicuramente massimo assoluto positivo in \([0,+\infty[\); dato che:
\[
\phi_n^\prime (x) = e^{-nx} (1-nx)
\]
l'unico punto stazionario di \(\phi_n\) è il suo massimo assoluto ed è in \(x_n:=1/n\); quindi:
\[
M_n = \frac{n}{n^2+1}\ \sup_{x\geq 0} xe^{-nx} = \frac{n}{n^2+1}\ \phi_n(x_n) = \frac{\cancel{n}}{n^2+1}\ \frac{1}{\cancel{n}\ e} = \frac{1}{e(n^2+1)}\; .
\]
Dato che la serie \(\sum M_n\) è asintoticamente equivalente a(d un multiplo de)lla serie armonica gneralizzata con esponente \(2>1\), essa converge; dunque la serie assegnata converge totalmente in \([0,+\infty[\).
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