Domanda sul rotore e divergenza
Ciao, avrei un dubbio sul teorema divergenza e stokes che si usa spesso in fisica I e II.
Mi spiego:
I) io so che vale: $int_gammavecA*dvecs=int_Sigma(vecnablaxxA)*vecndSigma$ (con gamma frontiera di sigma)
II) inoltre vale: $int_V(vecnabla*vecA)dV=int_SigmavecA*vecndSigma$ (con sigma superficie chiusa racchiudente il volume V)
ma I+II vorrebbero dire:
$int_gammavecA*dvecs=int_Sigma(vecnablaxxvecA)*vecndSigma=int_Vvecnabla*(vecnablaxxvecA)dV=0$
e sapendo che la divergenza di un rotore è sempre nulla l'ultimo integrale è NULLO e ciò parrebbe asserire che: $int_gammavecA*dvecs=0, AA A$ evidentmente falso.
Dove risiede l'errore?
Mi spiego:
I) io so che vale: $int_gammavecA*dvecs=int_Sigma(vecnablaxxA)*vecndSigma$ (con gamma frontiera di sigma)
II) inoltre vale: $int_V(vecnabla*vecA)dV=int_SigmavecA*vecndSigma$ (con sigma superficie chiusa racchiudente il volume V)
ma I+II vorrebbero dire:
$int_gammavecA*dvecs=int_Sigma(vecnablaxxvecA)*vecndSigma=int_Vvecnabla*(vecnablaxxvecA)dV=0$
e sapendo che la divergenza di un rotore è sempre nulla l'ultimo integrale è NULLO e ciò parrebbe asserire che: $int_gammavecA*dvecs=0, AA A$ evidentmente falso.
Dove risiede l'errore?
Risposte
Che in I) la superficie $\Sigma$ e' aperta, mentre in II) e' chiusa.
Se chiudi la superficie in I), la curva $\gamma$ si riduce a un punto, e quindi l'integrale e' nullo.
Se chiudi la superficie in I), la curva $\gamma$ si riduce a un punto, e quindi l'integrale e' nullo.
Caspita ci stavo uscendo pazzo perché ragionavo solo sul campo A, mentre in effetti il primo integrale della catena I+II è già nullo perché scelgo in effetti ina "circuitazione" ridotta a un punto. CIoè la nullità era per la scelta della linea su cui integravo non come erratamente deducevo per una proprietà del campo A.
Mi sembra di aver ben capito se non ho detto supidaggini!
Mi sembra di aver ben capito se non ho detto supidaggini!
E' però abbastanza curiosa una cosa di cui volevo ancora discutere con te se me ne dai modo per apprendere meglio 
.
Prendiamo di nuovo:
$int_gammavecA*dvecs=int_Sigma(vecnablaxxvecA)*vecndSigma=int_Vvecnabla*(vecnablaxxvecA)dV=0$
- Dall'ultimo pezzo della catena notiamo che $vecnabla*(vecnablaxxvecA)$ questo è zero, e quindi l'integrale è nullo indipendentemente dal volume su cui integro, perché è una proprietà intrinseca dell'integrando l'essere nullo.
- Se prendo invece il primo integrale all'estrema sx delle uguaglianze: $int_gammavecA*dvecs$ è vero che è nullo, però la nullità è per una scelta del percorso di integrazione, si nota infatti che dato che $gamma$ è un punto allora ho un integrale nullo.
Mi stupisce quindi quanto segue: da una parte ho una proprietà dell'integrando, cioè del campo IN SE' e per SE' $vecnabla*(vecnablaxxvecA)$ di essere nullo, ma la catena di uguaglianze mi dimostra che la nullità del primo integrale si è spostata sulla scelta del percorso e quindi degli "estremi di integrzione" sposto quindi una proprietà di un campo sulla superficie che scelgo ad integrare. E' curiosa come cosa no?
.Prendiamo di nuovo:
$int_gammavecA*dvecs=int_Sigma(vecnablaxxvecA)*vecndSigma=int_Vvecnabla*(vecnablaxxvecA)dV=0$
- Dall'ultimo pezzo della catena notiamo che $vecnabla*(vecnablaxxvecA)$ questo è zero, e quindi l'integrale è nullo indipendentemente dal volume su cui integro, perché è una proprietà intrinseca dell'integrando l'essere nullo.
- Se prendo invece il primo integrale all'estrema sx delle uguaglianze: $int_gammavecA*dvecs$ è vero che è nullo, però la nullità è per una scelta del percorso di integrazione, si nota infatti che dato che $gamma$ è un punto allora ho un integrale nullo.
Mi stupisce quindi quanto segue: da una parte ho una proprietà dell'integrando, cioè del campo IN SE' e per SE' $vecnabla*(vecnablaxxvecA)$ di essere nullo, ma la catena di uguaglianze mi dimostra che la nullità del primo integrale si è spostata sulla scelta del percorso e quindi degli "estremi di integrzione" sposto quindi una proprietà di un campo sulla superficie che scelgo ad integrare. E' curiosa come cosa no?
Faccio una piccola aggiunta al mio ultimo messaggio per spiegare meglio cosa intendo con prorpietà intrinsega dell'integrando (e quindi del campo) $vecnabla*(vecnablaxxvecA)$.
E' talmente indipendente dagli "estremi di integrazione" cioè su cosa svolgo l'integrale che un qualsiasi integrale (anche non di volume ma di superficie) sarebbe nullo con $int_Sigmavecnabla*(vecnablaxxvecA)dSigma=0$, proprio perché è nullo $vecnabla*(vecnablaxxvecA)$ esso stesso indpendente da "su cosa" integri (volume ma addirittura superficie).
Mentre l'integrale $int_gammavecA*dvecs$ è nullo non per una proprietà di A, ma per la curva gamma scelta.
Con questo intendevo ho spostato una prorpietà del campo $vecnabla*(vecnablaxxvecA)$ di essere nullo, al fatto che la scelta della gamma renda il primo integrale nullo. E come fatto mi stranisce.
Spero in qualche spunto! e grazie
E' talmente indipendente dagli "estremi di integrazione" cioè su cosa svolgo l'integrale che un qualsiasi integrale (anche non di volume ma di superficie) sarebbe nullo con $int_Sigmavecnabla*(vecnablaxxvecA)dSigma=0$, proprio perché è nullo $vecnabla*(vecnablaxxvecA)$ esso stesso indpendente da "su cosa" integri (volume ma addirittura superficie).
Mentre l'integrale $int_gammavecA*dvecs$ è nullo non per una proprietà di A, ma per la curva gamma scelta.
Con questo intendevo ho spostato una prorpietà del campo $vecnabla*(vecnablaxxvecA)$ di essere nullo, al fatto che la scelta della gamma renda il primo integrale nullo. E come fatto mi stranisce.
Spero in qualche spunto! e grazie
"siffunziona":
Caspita ci stavo uscendo pazzo perché ragionavo solo sul campo A, mentre in effetti il primo integrale della catena I+II è già nullo perché scelgo in effetti ina "circuitazione" ridotta a un punto. CIoè la nullità era per la scelta della linea su cui integravo non come erratamente deducevo per una proprietà del campo A.
Mi sembra di aver ben capito se non ho detto supidaggini!
Direi che hai capito bene.
sposto quindi una proprietà di un campo sulla superficie che scelgo ad integrare. E' curiosa come cosa no?
Si, in effetti e' una nota interessante.
La vedo come una delle tante situazioni in matematica dove si deve arrivare allo stesso risultato per due vie diverse.
Prendere la divergenza del rotore deve per forza dare zero: ogni campo puo' essere scomposto in una parte solenoidale e una parte irrotazionale (teorema di Helmoltz).
Applicare il rotore ad un campo significa quindi eliminare la parte irrotazionale e poi applicare la divergenza significa eliminare la parte solenoidale: non rimane nulla.
D'altra parte la frontiera di una frontiera di un volume e' un punto, o addirittura non esiste, e quindi ogni integrale su di esso e' nullo. Bella osservazione.
Non conoscevo tale teorema e quindi questa osservazione è molto carina:
Grazie mille per lo scambio che mi hai dedicato!
Applicare il rotore ad un campo significa quindi eliminare la parte irrotazionale e poi applicare la divergenza significa eliminare la parte solenoidale: non rimane nulla.
Grazie mille per lo scambio che mi hai dedicato!
Scusate l'intromissione ma dato che è un argomento interessante volevo chiedere una delucidazione su un passaggio:
Non capisco quindi la parte nel quote:
] se applico il rotore $vecnablaxxvecC=vecnablaxxvecA+vecnablaxxvecB=vecnablaxx(vecnablaxxvecA)+vecnablaxx(vecnabla*vecB)$ perché toglierebbe la parte irrotazionale?
] mentre $vecnabla*vecC$ perché toglie la parte solenoidale?
Grazie
"Quinzio":Non ho ben capito una cosa: in sostanza posso dire che per il teorema di H ogni campo B posso scomporlo in somma di qualcosa di solenoidale e qualcosa di irrotazionale: $vecC=(vecA+vecB)$ con A, B che verifichino: $vecnablaxxvecA=0$ e $vecnabla*vecB=0$ (cioè A irrotazionale e B solenoidale).
Applicare il rotore ad un campo significa quindi eliminare la parte irrotazionale e poi applicare la divergenza significa eliminare la parte solenoidale: non rimane nulla.
Non capisco quindi la parte nel quote:
] se applico il rotore $vecnablaxxvecC=vecnablaxxvecA+vecnablaxxvecB=vecnablaxx(vecnablaxxvecA)+vecnablaxx(vecnabla*vecB)$ perché toglierebbe la parte irrotazionale?
] mentre $vecnabla*vecC$ perché toglie la parte solenoidale?
Grazie
"matos":
Scusate l'intromissione ma dato che è un argomento interessante volevo chiedere una delucidazione su un passaggio:
] se applico il rotore $vecnablaxxvecC=vecnablaxxvecA+vecnablaxxvecB=vecnablaxx(vecnablaxxvecA)+vecnablaxx(vecnabla*vecB)$ perché toglierebbe la parte irrotazionale?
] mentre $vecnabla*vecC$ perché toglie la parte solenoidale?
Grazie
Mi scuso e hai ragione. Il rotore della divergenza e' indefinito...
mentre invece la divergenza del rotore e' sempre zero.
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