Domanda sul differenziale di una funzione

[Sk_Anonymous]

Salve, volevo avere dei chiarimenti sul concetto di differenziale di una funzione reale di variabile reale, concetto che non è stato per nulla affrontato nel mio corso di Analisi 1, e sul quale avevo le idee abbastanza confuse. Data una funzione $f(x)$ ed un punto $x_0$ del dominio, si può definire una nuova funzione, detta rapporto incrementale, del tipo: $((Delta f)/(Delta x))=(f(x_0+h)-f(x_0))/h$. Evidentemente, tale funzione dipende dalla variabile $h$. Se ora faccio il limite per $h$ che tende a zero della funzione rapporto incrementale, ottengo per definizione la derivata della mia funzione $f(x)$ calcolata nel punto $x_0$. Ora, possiamo definire una nuova funzione che dipende da $h$ del tipo $(f(x_0+h)-f(x_0))/h-f'(x_0)=e(h)$. Tale funzione, per $h$ che tende a zero, è infinitesima. Detto questo, se riscrivo quest'ultima relazione nel seguente modo - $(f(x_0+h)-f(x_0))-hf'(x_0)=he(h)$, $f(x_0+h)-f(x_0)=hf'(x_0)+h(e(h))$ - rilevo che l'incremento della funzione relativo all'incremento di ascisse $h$ (a partire dal punto $x_0$) è pari alla somma di una quantità lineare in $h$ , $hf'(x_0)$, e $h(e(h))$, quantità che tende a zero quando $h$ tende a zero e dunque infinitesimo di ordine superiore rispetto ad $h$. Dunque $he(h)=o(h)$. Quindi detto $d(f(x))$ il differenziale della funzione nel punto $x_0$, si ha che $d(f(x))=f'(x_0)*h$. Se poi calcoliamo il differenziale della funzione $f(x)=x$, scopriamo che $d(x)=1*h$, cioè che parlare dell'incremento $h$ o del differenziale della funzione $x$, cioè di $dx$, è la stessa cosa, ragion per cui è possibile porre che $df(x)=f'(x_0)*dx$. Quindi, questo famigerato $dx$, non rappresenta una quantità infinitesima giusto? Non so perchè, ma ho sempre avuto l'idea errata che i simboli $dx$, $dy$, $dz$ ecc... rappresentassero quantità infinitesime; invece, tali simboli indicano semplicemente l'incremento $h$ a partire dal punto $x_0$, incremento che non necessariamente deve essere infinitesimo. E' corretto quello che ho detto? Vi ringrazio per l'aiuto, ciao

[Sk_Anonymous]

nessuno?

[Sk_Anonymous]

E' giusto quello che ho detto? Grazie.

[dissonance]

Senti, purtroppo non ho il tempo di mettermi a leggere il tuo primo post ma è una questione classica: in fisica e nelle materie tecniche si usa il concetto di "infinitesimo" che in una formulazione rigorosa dell'analisi matematica non trova posto ed è sostituito da costruzioni come quella di "differenziale" con cui stai avendo a che fare. Quindi devi abituarti a tenere il piede in due scarpe: gli infinitesimi sono una idea efficace dal punto di vista intuitivo e, se manipolati correttamente, ti portano anche a calcoli corretti; ma se vuoi fare della matematica rigorosa ne devi fare a meno.