Domanda sui numeri complessi

[Mith891]

Ciao, avendo a che fare con delle serie di complessi, mi sono trovato in difficoltà col concetto di norma applicato ai complesi. Questi sono i casi (banalissimi) su cui ho dei dubbi:
1) $ sum_(n=0)^(+oo) n+i $
2) $ sum_(n=0)^(+oo) n-i $
3) $ sum_(n=0)^(+oo) sqrt(n) + i n ^2 $
4) $ sum_(n=0)^(+oo) n + i^n $

Per stabilire il carattere della funzione bisogna fare la norma, cioè (e qui non vorrei dire fesserie) elevare al quadrato ogni addendo e poi mettere tutto sotto radice. Per esempio il primo caso:
$ sum_(n=0)^(+oo) |n+i| = sum_(n=0)^(+oo) sqrt(n^2 + 1) $
il mio dubbio è questo, ma se so che $ i^2 = -1 $ perchè sotto la radice c'è $ n^2+1 $ e non $ n^2-1 $ ?

[gugo82]

Com'è definito il modulo di un numero complesso?
Risposto a questo, il tuo interrogativo diventa banale.

[Mith891]

ok, ma quella definizione come esce fuori? il modulo è semplicemente definito così a priori? e in ogni caso come si fa il modulo del quarto problema?

[Sk_Anonymous]

$n=1,5,... rarr sqrt(n^2+1)$

$n=2,6,... rarr n-1$

$n=3,7,... rarr sqrt(n^2+1)$

$n=4,8,... rarr n+1$

[Mith891]

risposta alquanto sibillina...

[gugo82]

"Mith89":ok, ma quella definizione come esce fuori? il modulo è semplicemente definito così a priori?

Ogni testo di Analisi che si rispetti ti dice come "esce fuori" la definizione di modulo.

"Mith89":e in ogni caso come si fa il modulo del quarto problema?

Basta distinguere i casi, giacché le potenze di [tex]$\imath$[/tex] si alternano.


P.S.: Nota che, praticamente, quel che stai facendo è andare a verificare una condizione di convergenza assoluta.
Tuttavia il problema può essere semplificato andando a verificare prima di tutto la condizione necessaria alla convergenza, che, in [tex]$\mathbb{C}$[/tex], significa andare a vedere se la successione dei moduli degli addendi è infinitesima.