Domanda sugli operatori chiusi

[Nebula2]

mi sembra di aver capito che un operatore lineare $A$ tra spazi di banach $X$,$Y$ è chiuso se, indicando con $D(A)$ il dominio di $A$:
${x_n} \in X $, $ x_n \rarr x \in D(A) \sub X \rArr x \in D(A)$;
$ Ax_n \rarr y \rArr Ax=y$.

ovvero il dominio di $A$ è chiuso e $A$ è continuo. ma la definizione di operatore chiuso non è più generale di quella di operatore continuo?

[gugo82]

Un operatore $T:\ccD(T) to Y$ ($\ccD(T) \subseteq X$ con $X,Y$ spazi di Banach o di Frechet) si dice chiuso quando il suo grafico $G(T):=\{ (x,T(x))\}_(x\in \ccD(T))$ è chiuso nella topologia prodotto di $X\times Y$, il che ci riporta alla condizione:

$(x_n,T(x_n))\to (x,y) " in " X\times Y \quad => \quad (x,y) \in G(T)$

equivalente alle due da te riportate.
Per venire alla questione, la chiusura è sì più debole della continuità: infatti l'operatore di $RR$ in sé:

$T(x):=\{(0, " se " x<=0),(1/x, " se " x>0) :}$

è chiuso (il complementare di $G(T)$ è aperto in $RR^2$) ma non continuo.
Però se alla chiusura affianchi le ipotesi "$\ccD(T)=X$" e "$T$ è lineare", trovi che $T$ è pure continuo (questo è il Teorema del grafico chiuso).

La differenza tra continuità e chiusura allora dove sta?
Ebbene per definizione, $T$ è continuo se e solo se:

$x_n\to x \quad => \quad (T(x_n))_(n\in NN) " converge e " T(lim_n x_n)=lim_n T(x_n)$

mentre $T$ è chiuso se e solo se:

$x_n \to x " e " (T(x_n))_(n\in NN) " converge" \quad => \quad T(lim_n x_n)=lim_nT(x_n)$;

come vedi le affermazioni sulla convergenza della successione $(T(x_n))_(n\in NN)$ stanno una volta da un lato una volta dall'altro di $=>$.
La differenza consiste in questo: nel caso della continuità uno riesce a garantire la convergenza di $(T(x_n))_(n\in NN)$ e a stabilire l'uguaglianza $lim_n T(x_n)=T(lim_n x_n)$ a partire dalla sola convergenza di $(x_n)$, mentre nel caso della chiusura è necessario supporre che anche $(T(x_n))_(n\in NN)$ converga per stabilire l'uguaglianza $lim_n T(x_n)=T(lim_n x_n)$.

Spero di essermi spiegato sufficientemente bene, perchè la distinzione è un po' sottile.
Ciao.