Domanda su valori assoluti e radicali

[Lodosage]

Per la definizione di radice quadra (con n pari $rootn(a)=b$ e $b^n=a$) si assume che ad esempio $sqrt(4)=2$ e non ±2.

Perché allora quando trovo in un'equazione una radice ad indice pari ed estraggo il radicando devo mettere il valore assoluto?

[anto_zoolander]

Una spiegazione veloce potrebbe essere che se assumessi che $sqrt(x)$ calcolata in $4$ farebbe $pm2$ non avresti più una funzione.

Per una risposta dettagliata(nel mio possibile), se qualcuno non mi precede, la metto quando torno.

[Raptorista1]

Quindi stai chiedendo perché \(\sqrt{x^2} = |x|\) e non \(\sqrt{x^2} = x\)?

[Lodosage]

"Raptorista":Quindi stai chiedendo perché \(\sqrt{x^2} = |x|\) e non \(\sqrt{x^2} = x\)?

In sostanza si, ho capito che a può essere sia positivo che negativo perché il radicando $a^2$ sia positivo. Ma non capisco perché la definizione per convenzione definisca $sqrt(a^2)=a$ quando poi negli esercizi ci si deve comportare in modo diverso...

[Raptorista1]

Non si definisce \(\sqrt{x^2} = x\), si definisce \(\sqrt{4} = 2\), che è diverso! Il punto è che \(\sqrt{x^2} = |x|\) perché \(\sqrt{2^2} = 2 \) ma per \(x=-2\) si ha \(\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2 = |-2|\). In caso contrario avresti che \(\sqrt{(-2)^2} = -2 < 0\).

[AnalisiZero]

"Raptorista":Non si definisce \(\sqrt{x^2} = x\), si definisce \(\sqrt{4} = 2\), che è diverso! Il punto è che \(\sqrt{x^2} = |x|\) perché \(\sqrt{2^2} = 2 \) ma per \(x=-2\) si ha \(\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2 = |-2|\). In caso contrario avresti che \(\sqrt{(-2)^2} = -2 < 0\).

Credo che lui stia proprio chiedendo perché $sqrt{4}=2$ e non $sqrt{4}=+-2$.

[donald_zeka]

In quali esercizi ti devi comportare in modo diverso?

[AnalisiZero]

Comunque interessa anche a me questa domanda.
In effetti $-2$ soddisfa la definizione di radice:
$-2$ è quel numero che elevato all'indice della radice , cioè $2$, è uguale all'argomento della radice, cioè $4$.
Perchè allora si pone $sqrt{4}=2$ e non $sqrt{4}=+-2$?
Una spiegazione potrebbe essere: "perché la radice è sempre positiva"; ma allora mi chiederei, perché la radice è sempre positiva?

[Raptorista1]

Come è già stato detto sopra, non si possono assegnare due valori perché si violerebbe la definizione di funzione.

[AnalisiZero]

Allora quando si dice $sqrt{i^2}=+-i$ non si sta violando la definizione di funzione? Cioè si sta dicendo che dalla radice di qualcosa si ottengono 2 valori.

[Raptorista1]

Quella è la radice complessa, è un altro paio di maniche. In analisi complessa ci sono funzioni, dette polidrome, che fanno cose come questa.

[siddy98]

"AnalisiZero":
Perchè allora si pone $sqrt{4}=2$ e non $sqrt{4}=+-2$?
Una spiegazione potrebbe essere: "perché la radice è sempre positiva"; ma allora mi chiederei, perché la radice è sempre positiva?

E' una convenzione, nulla di più. Si definisce $sqrt(x)$ come quel numero positivo che elevato al quadrato dà $x$. Il numero negativo che elevato al quadrato dà $x$ si indica, invece, con il simbolo $-sqrt(x)$. Pertanto $sqrt(4)=2$ e non $-2$.

Perché non si definisce $sqrt(4)=+-2$? Perché questa scrittura semplicemente non ha senso[nota]Sui libri forse avrai visto scritture come $x=+-a$ quando si indicano le soluzione di un'equazione. Ma in questo caso quella è semplicemente una scrittura abbreviata per dire "questa equazione ha due soluzioni: o $x=a$ oppure $x=-a$. Ma col simbolo $sqrt(a)$ non si suole indicare tutte le possibili soluzioni dell'equazione del tipo $x^2=a$, bensì si vuole indicare un numero[/nota]. Che vuol dire che una cosa è uguale a $+-2$? O è uguale a $2$, o è uguale a $-2$, non hai molte altre alternative. Ad un simbolo associamo un valore. Che significato dovrebbe avere, ad esempio, l'espressione $sqrt(4)+1$? Fa $3$ oppure $-1$? Ovviamente, la scelta più ovvia è indicare con $sqrt(4)$ la soluzione positiva dell'equazione $x^2=4$ e con $-sqrt(4)$ la soluzione negativa, per cui non v'è nessuna ambiguità, e quell'espressione fa semplicemente $3$.

In definitiva,