Domanda su valore assoluto e radice
Ciao, volevo sapere perchè quando abbiamo $ sqrt(x^2) $ dobbiamo necessariamente scrivere che esso è uguale a $|x|$ e non $x$. Grazie mille
Risposte
Fai la prova con $x=-1$.
beh,$ -1$ al quadrato fa 1, poi faccio la radice e viene 1, dove sta l'errore?
"Soscia":
Ciao, volevo sapere perchè quando abbiamo $ sqrt(x^2) $ dobbiamo necessariamente scrivere che esso è uguale a $|x|$ e non $x$. Grazie mille
Un errore comune.
La funzione $x^2$ NON E' invertibile su tutto l'asse reale (manca l'iniettività).
Allora si definisce la funzione:
$x^2 : [0, +oo[ -> [0, +oo[$
$x -> x^2$
Questa nuova funzione è iniettiva, suriettiva ed è quindi invertibile.
La sua inversa è
$sqrt(x^2) : [0, +oo[ -> [0, +oo[
$x^2 -> x$
Il codominio di questa funzione è la semiretta reale positiva. Implica che $x$ (il traformato mediante la $sqrt(x^2)$) è un numero reale positivo.
"Seneca":
[quote="Soscia"]Ciao, volevo sapere perchè quando abbiamo $ sqrt(x^2) $ dobbiamo necessariamente scrivere che esso è uguale a $|x|$ e non $x$. Grazie mille
Un errore comune.
La funzione $x^2$ NON E' invertibile su tutto l'asse reale (manca l'iniettività).
Allora si definisce la funzione:
$x^2 : [0, +oo[ -> [0, +oo[$
$x -> x^2$
Questa nuova funzione è iniettiva, suriettiva ed è quindi invertibile.
La sua inversa è
$sqrt(x^2) : [0, +oo[ -> [0, +oo[
$x^2 -> x$
Il codominio di questa funzione è la semiretta reale positiva. Implica che $x$ (il traformato mediante la $sqrt(x^2)$) è un numero reale positivo.[/quote]
Okok, tutto chiaro grazie, comunque si tratta solo di un errore concettuale, dal momento che praticamente non cambia nulla, o sbaglio?
Ma come?!?!? Hai fatto veramente la prova con $-1$? Se quello che dici tu è vero allora dovrebbe essere $-1=1$.
scusa, ma se ho $ sqrt(x^2) $ e ci sostituisco -1, ottengo $ sqrt((-1)^2) $ cioè 1
Appunto. Ma secondo te è
$\sqrt(x^2)=x$,
ovvero per $x=-1$,
$1=-1$.
$\sqrt(x^2)=x$,
ovvero per $x=-1$,
$1=-1$.
avete ragione, ora è tutto chiaro, mi sembrava un'operazione ovvia e invece è un errore madornale...purtroppo la matematica è così:)
"Soscia":
Okok, tutto chiaro grazie, comunque si tratta solo di un errore concettuale, dal momento che praticamente non cambia nulla, o sbaglio?
No, no.. Ma quale errore concettuale!
Come ti faceva notare Dissonance è un macello se $sqrt(x^2)$ lo scrivi generalmente come $x$.
La teoria ti dice che non si può fare. Se hai $x^2$ e ci applichi la funzione radice quadrata, deve saltarti fuori qualcosa di non negativo (per come è definita la funzione che vai ad applicare: i trasformati sono sempre positivi).
Se scrivi $sqrt(x^2) = x$ è una bella fregatura, perché non specifichi il segno di $x$.
Con un bel valore assoluto quadrata tutto.
"Seneca":
[quote="Soscia"]
Okok, tutto chiaro grazie, comunque si tratta solo di un errore concettuale, dal momento che praticamente non cambia nulla, o sbaglio?
No, no.. Ma quale errore concettuale!
Come ti faceva notare Dissonance è un macello se $sqrt(x^2)$ lo scrivi generalmente come $x$.
La teoria ti dice che non si può fare. Se hai $x^2$ e ci applichi la funzione radice quadrata, deve saltarti fuori qualcosa di non negativo (per come è definita la funzione che vai ad applicare: i trasformati sono sempre positivi).
Se scrivi $sqrt(x^2) = x$ è una bella fregatura, perché non specifichi il segno di $x$.
Con un bel valore assoluto quadrata tutto.[/quote]
però visto che come hai detto tu si tratta di un errore piuttosto comune non dovrebbe essere così grave
Visto che hai postato sul forum di Analisi Matematica, credo proprio sia grave.
Un classico esempio è quando vai a calcolare un limite del tipo:
$lim_(x -> -oo ) sqrt(x^2 + x - 3)$
Raccogliendo nella radice $x^2$ e portando fuori $x$:
$lim_(x -> -oo ) x * sqrt(1 + 1/x - 3/x^2) = -oo$
Conclusione: il grafico non torna più.
Un classico esempio è quando vai a calcolare un limite del tipo:
$lim_(x -> -oo ) sqrt(x^2 + x - 3)$
Raccogliendo nella radice $x^2$ e portando fuori $x$:
$lim_(x -> -oo ) x * sqrt(1 + 1/x - 3/x^2) = -oo$
Conclusione: il grafico non torna più.
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