Domanda su un Problema di Cauchy

[massi33]

ciao a tutti,
vi posto questo esercizio, un problema di Cauchy, di cui non riesco a trovare la soluzione
$ y'' + y' (y-1) = 0 $
$ y(0) = 0 $
$ y'(0) = 1 $

Secondo me questa equazione differenziale va ricondotta ad un'equazione a variabili separabili, io l'ho svolta in questo modo:
$ y'' = y'(1-y)$
$y' = int y' (1-y) dy $

integrando per parti più volte ottengo
$y' = y( 1 + y/2)$

quindi un'equazione a variabili separabili che svolgendola mi dà
$y= (2Ce^x)/(1-Ce^x)$

questa soluzione però non mi convince affatto, penso che lo sbaglio sia all'inzio del mio ragionamento.

[walter891]

prima di risolvere io trasformerei l'equazione del secondo ordine in un sistema di 2 equazioni del primo ordine in modo da facilitare le cose

[ciampax]

Io invece credo che il metodo usato da massi non sia sbagliato, anzi è molto funzionale. Dal momento che [tex]$\frac{d y^2}{dx}=2yy'$[/tex] segue che

[tex]$y''+yy'-y'=0\ \Rightarrow\ \left(y'+\frac{y^2}{2}-y\right)'=0$[/tex]

Ora però bisogna stare attenti a cosa viene fuori: se integri l'ultima cosa che ho scritto ottieni

[tex]$y'-y+\frac{y^2}{2}=c,\qquad c\in\mathbb{R}$[/tex]

da cui, usando le condizioni iniziali, trovi [tex]$1=c$[/tex]. Pertanto dobbiamo risolvere l'equazione

[tex]$y'=1+y-\frac{y^2}{2}$[/tex]

che è a variabili separabili.

[massi33]

ciao ragazzi vi ringrazio per avermi risposto subito, ho ancora un dubbio che volevo chiedervi

ho notato che una volta che integro l'equazione differenziale
$y''=y'(1-y)$
$y'=int y'(1-y)dy$

l'equazione che ottengo, cioè
$y'- y + y/2 = 0$

è nella forma dell'equazione di Bernoulli con
$p(t)= -1 $
$q(t)= 1/"$
$sigma = 2$

quindi sostituendo
$z(x)= [y(x)]^(1-sigma)= y(x)^-1$

ottengo un equazione lineare del 1° ordine $z'+z = 1/2$ con soluzione
$z(x)= (2C+e^x)/(2e^x)$

ora in questo punto mi blocco perchè non mi è chiaro come trovarmi la costante $C$ quando ho 2 vincoli ($z(0)=0$ e $z'(0)=1$)

[ciampax]

Va bene anche così.