Domanda su struttura limite
Ciao a tutti utenti del Forum. Vorrei chiedervi oggi una perla di saggezza su questo problema. Fino a ieri pensavo di conoscere le strutture dei limiti notevoli ma dopo questo esercizio temo di aver mancato qualcosa.
Calcolare il seguente limite:
\(\displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}{(1+ \frac{1}{2x})^{3x}} \)
dunque, il mio primo pensiero è stato quello di notare che il limite è associabile al limite notevole
\(\displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}{(1+ \frac{1}{x})^{x}} \rightarrow e \)
secondo la struttura dei limiti notevoli se \(\displaystyle x \rightarrow \pm \infty \) allora anche \(\displaystyle 2x \rightarrow \pm \infty \) e \(\displaystyle 3x \rightarrow \pm \infty \) pertanto ho pensato che il limite potesse essere svolto nel seguente modo:
\(\displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}{(1+ \frac{1}{2x})^{3x}} = \lim_{x\to \pm \infty}{(1+ \frac{1}{x})^{x}} \rightarrow e \)
ed ho pensato che il risultato fosse \(\displaystyle e \)
il risultato corretto è \(\displaystyle e^{\frac{3}{2}} \)
ho risolto solo dopo l'esercizio ma quello che non capisco è perchè il ragionamento della struttura dei limiti non ha funzionato. Potrebbe essere per il fatto che al denominatore abbiamo \(\displaystyle 2x \) e come esponente \(\displaystyle 3x \)? Insomma se fosse stato ad esempio \(\displaystyle 2x \) per entrambi avremmo avuto certamente \(\displaystyle e \) come risultato del limite. Potreste spiegarmi perchè?
A voi esperti la palla, perdonate l'ignoranza.
Calcolare il seguente limite:
\(\displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}{(1+ \frac{1}{2x})^{3x}} \)
dunque, il mio primo pensiero è stato quello di notare che il limite è associabile al limite notevole
\(\displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}{(1+ \frac{1}{x})^{x}} \rightarrow e \)
secondo la struttura dei limiti notevoli se \(\displaystyle x \rightarrow \pm \infty \) allora anche \(\displaystyle 2x \rightarrow \pm \infty \) e \(\displaystyle 3x \rightarrow \pm \infty \) pertanto ho pensato che il limite potesse essere svolto nel seguente modo:
\(\displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}{(1+ \frac{1}{2x})^{3x}} = \lim_{x\to \pm \infty}{(1+ \frac{1}{x})^{x}} \rightarrow e \)
ed ho pensato che il risultato fosse \(\displaystyle e \)
il risultato corretto è \(\displaystyle e^{\frac{3}{2}} \)
ho risolto solo dopo l'esercizio ma quello che non capisco è perchè il ragionamento della struttura dei limiti non ha funzionato. Potrebbe essere per il fatto che al denominatore abbiamo \(\displaystyle 2x \) e come esponente \(\displaystyle 3x \)? Insomma se fosse stato ad esempio \(\displaystyle 2x \) per entrambi avremmo avuto certamente \(\displaystyle e \) come risultato del limite. Potreste spiegarmi perchè?
A voi esperti la palla, perdonate l'ignoranza.
Risposte
molto semplicemente , il tuo ragionamento non va bene perchè $ 2x != 3x$
non basta che vadano entrambi all'infinito,devono essere uguali
non basta che vadano entrambi all'infinito,devono essere uguali
Hai:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to \pm \infty} \left( 1+ \frac{1}{2x}\right)^{3x} &= \lim_{x\to \pm \infty} \left( 1+ \frac{1}{2x}\right)^{\frac{3}{2}\ 2x}\\
&= \lim_{x\to \pm \infty} \left[\left( 1+ \frac{1}{2x}\right)^{2x}\right]^{\frac{3}{2}}\\
&\stackrel{y=2x}{=} \lim_{y\to \pm \infty} \left[\left( 1+ \frac{1}{y}\right)^y\right]^{\frac{3}{2}}\\
&= \left[\lim_{y\to \pm \infty} \left( 1+ \frac{1}{y}\right)^y\right]^{\frac{3}{2}}\\
&= e^{3/2}\; ,
\end{split}
\]
per il teorema sul limite della funzione composta, la continuità della potenza ed il limite notevole di Nepero.
\[
\begin{split}
\lim_{x\to \pm \infty} \left( 1+ \frac{1}{2x}\right)^{3x} &= \lim_{x\to \pm \infty} \left( 1+ \frac{1}{2x}\right)^{\frac{3}{2}\ 2x}\\
&= \lim_{x\to \pm \infty} \left[\left( 1+ \frac{1}{2x}\right)^{2x}\right]^{\frac{3}{2}}\\
&\stackrel{y=2x}{=} \lim_{y\to \pm \infty} \left[\left( 1+ \frac{1}{y}\right)^y\right]^{\frac{3}{2}}\\
&= \left[\lim_{y\to \pm \infty} \left( 1+ \frac{1}{y}\right)^y\right]^{\frac{3}{2}}\\
&= e^{3/2}\; ,
\end{split}
\]
per il teorema sul limite della funzione composta, la continuità della potenza ed il limite notevole di Nepero.
Grazie mille ad entrambi per la risposta, siete stati gentilissimi
@stormy
infatti era quello che pensavo e volevo una conferma. Pensavo che l'importante era che entrambi tendessero ad infinito come x, invece è come dici tu. Grazie
@gugo82
Grazie della spiegazione ^^
@stormy
infatti era quello che pensavo e volevo una conferma. Pensavo che l'importante era che entrambi tendessero ad infinito come x, invece è come dici tu. Grazie
@gugo82
Grazie della spiegazione ^^
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo