Domanda su somma di serie
Se ho due serie $sum a_n(x)$ e $sum b_n(x)$ che convergono totalmente sullo stesso intervallo, posso dire che $sum a_n(x) + sum b_n(x)=sum(a_n(x) + b_n(x))\quad AAx in I$? Secondo me proprio no, però chiedo conferma...
Risposte
Prova a dimostrarlo... L'ipotesi di convergenza semplice è più che sufficiente, figuriamoci la convergenza totale.
Wow bene, ci provo usando la puntuale.
Sia $x in I$. Per ipotesi,
$AAepsilon>0 EE nu_1 t.c. |a_n(x) + cdots + a_(n+p)(x)|nu_1 AAp in NN$
e
$AAepsilon>0 EE nu_2 t.c. |b_n(x) + cdots + b_(n+p)(x)|nu_2 AAp in NN$
Devo dimostrare che allora $AAepsilon>0 EE nu t.c. |(a_n(x)+b_n(x)) + cdots + (a_(n+p)(x) + b_(n+p)(x))|nu AAp in NN$
Ma, fissato quindi $epsilon>0$, risulta che $|(a_n(x)+b_n(x)) + cdots + (a_(n+p)(x) + b_(n+p)(x))|<=|a_n(x) + cdots + a_(n+p)(x)|+|b_n(x) + cdots + b_(n+p)(x)|$ che, preso $nu>"max"{nu_1,nu_2}$, risulta essere $nu AAp in NN$ e quindi la tesi.
Funziona?
Sia $x in I$. Per ipotesi,
$AAepsilon>0 EE nu_1 t.c. |a_n(x) + cdots + a_(n+p)(x)|
e
$AAepsilon>0 EE nu_2 t.c. |b_n(x) + cdots + b_(n+p)(x)|
Devo dimostrare che allora $AAepsilon>0 EE nu t.c. |(a_n(x)+b_n(x)) + cdots + (a_(n+p)(x) + b_(n+p)(x))|
Ma, fissato quindi $epsilon>0$, risulta che $|(a_n(x)+b_n(x)) + cdots + (a_(n+p)(x) + b_(n+p)(x))|<=|a_n(x) + cdots + a_(n+p)(x)|+|b_n(x) + cdots + b_(n+p)(x)|$ che, preso $nu>"max"{nu_1,nu_2}$, risulta essere $
Funziona?
E certo che funziona...
Ma potevi anche far a meno di tutti i conti, bastava tenere presente che la somma di sue successioni convergenti è una successione convergente. Applicando questo risultato alla successione delle somme parziali hai subito la tesi.
Ma potevi anche far a meno di tutti i conti, bastava tenere presente che la somma di sue successioni convergenti è una successione convergente. Applicando questo risultato alla successione delle somme parziali hai subito la tesi.
Grazie 
mah intuitivamente mi sembrava uno di quei casi che sembra vero ma invece c'è il controesempio...
Lo stesso dicasi per il prodotto di serie convergenti vero?
E invece se le serie sono entrambe divergenti, o una convergente e una divergente, nulla si può dire sulla loro somma/prodotto vero?
mah intuitivamente mi sembrava uno di quei casi che sembra vero ma invece c'è il controesempio...Lo stesso dicasi per il prodotto di serie convergenti vero?
E invece se le serie sono entrambe divergenti, o una convergente e una divergente, nulla si può dire sulla loro somma/prodotto vero?
"gygabyte017":
Grazie
E invece no... Bastava poco, ci saresti potuto arrivare anche da solo.
Se ti fermi all'intuizione e non metti penna su carta è difficile andare avanti.
"gygabyte017":
Lo stesso dicasi per il prodotto di serie convergenti vero?
Definisci "prodotto di serie convergenti" prima, poi possiamo parlarne.
"gygabyte017":
E invece se le serie sono entrambe divergenti, o una convergente e una divergente, nulla si può dire sulla loro somma/prodotto vero?
Scusa, ricordi come funziona il teorema sul limite della somma?
Credo di sì e credo ricorderai pure che l'unica forma indeterminata per la somma è $oo-oo$: pertanto, se una serie diverge positivamente e l'altra negativamente, niente da fare, in generale non puoi dire nulla e devi fare l'analisi caso per caso.
Gli altri casi sono tutti coperti.
Per il "prodotto", vedi sopra.
Hai ragione. Dovrei sapere queste cose ma mi sto confondendo............
Per prodotto intendo il prodotto termine a termine, ovvero $sum a_n(x)b_n(x)$
Edito: sicuramente se sono divergenti non si può dire nulla, mi viene in mente $a_n=b_n=1/n$ che divergono, ma $sum 1/n^2$ invece converge
Per prodotto intendo il prodotto termine a termine, ovvero $sum a_n(x)b_n(x)$
Edito: sicuramente se sono divergenti non si può dire nulla, mi viene in mente $a_n=b_n=1/n$ che divergono, ma $sum 1/n^2$ invece converge
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