Domanda su serie di funzioni
Salve, è la prima volta che svolgo questo tipo di esercizi e volevo sapere se è giusto, a livello teorico, quello che dirò.
Devo determinare il raggio di convergenza e l'insieme di convergenza della serie $sum_(n=0)^(oo) x^n/(2^n*(n^2+2))$.
Ora, l'esercizio lo so fare però a me interessa sapere se ho compreso bene la questione a livello teorico, essendo il testo a proposito abbastanza riduttivo.
Quella somma che ho scritto all'inizio deriva dai seguenti ragionamenti:
Sia $F$ un insieme di funzioni reali di variabile reale definite su un certo intervallo. Prendo una successione di funzioni, per esempio $y=x^n/(2^n*(n^2+2))$, cioè una applicazione che ad ogni numero naturale fa corrispondere una ed una sola funzione $in F$ definita su un certo intervallo.
La prima cosa che mi posso chiedere è: esiste il limite per $n->+oo$ di $y=x^n/(2^n*(n^2+2))$?
A questo punto definisco procedo nel seguente modo, considerando la successione così definita:
$S_0(x)=1/2$, $S_1(x)=1/2+(1/6)x$,....,$S_n(x)=1/2+1/6+....+x^n/(2^n*(n^2+2))$, da cui si ottiene che $S_n(x)=sum_(k=0)^(n) x^k/(2^k*(k^2+2))$. Quest'ultima espressione è anch'essa una successione di funzioni, in quanto, fornendo come "input" un numero naturale, ottengo come "output" una funzione. Ora, come sopra, mi chiedo: esiste il limite per $n->+oo$ di $S_n(x)=sum_(k=0)^(n) x^k/(2^k*(k^2+2))$? Indico poi tale limite con la scritta $sum_(n=0)^(oo) x^n/(2^n*(n^2+2))$.
Va bene?
Scusate per le banalità che scrivo però voglio essere sicuro di aver compreso bene. Grazie
Devo determinare il raggio di convergenza e l'insieme di convergenza della serie $sum_(n=0)^(oo) x^n/(2^n*(n^2+2))$.
Ora, l'esercizio lo so fare però a me interessa sapere se ho compreso bene la questione a livello teorico, essendo il testo a proposito abbastanza riduttivo.
Quella somma che ho scritto all'inizio deriva dai seguenti ragionamenti:
Sia $F$ un insieme di funzioni reali di variabile reale definite su un certo intervallo. Prendo una successione di funzioni, per esempio $y=x^n/(2^n*(n^2+2))$, cioè una applicazione che ad ogni numero naturale fa corrispondere una ed una sola funzione $in F$ definita su un certo intervallo.
La prima cosa che mi posso chiedere è: esiste il limite per $n->+oo$ di $y=x^n/(2^n*(n^2+2))$?
A questo punto definisco procedo nel seguente modo, considerando la successione così definita:
$S_0(x)=1/2$, $S_1(x)=1/2+(1/6)x$,....,$S_n(x)=1/2+1/6+....+x^n/(2^n*(n^2+2))$, da cui si ottiene che $S_n(x)=sum_(k=0)^(n) x^k/(2^k*(k^2+2))$. Quest'ultima espressione è anch'essa una successione di funzioni, in quanto, fornendo come "input" un numero naturale, ottengo come "output" una funzione. Ora, come sopra, mi chiedo: esiste il limite per $n->+oo$ di $S_n(x)=sum_(k=0)^(n) x^k/(2^k*(k^2+2))$? Indico poi tale limite con la scritta $sum_(n=0)^(oo) x^n/(2^n*(n^2+2))$.
Va bene?
Scusate per le banalità che scrivo però voglio essere sicuro di aver compreso bene. Grazie
Risposte
Più che una domanda sulle serie di funzioni, questa è una domanda sul "vero" significato della parola serie.
L'argomento è stato discusso più volte nel caso delle serie numeriche: in particolare qui (nelle prime tre pagine, specialmente).
Ovviamente la definizione si riporta pari-pari dal caso numerico a quello funzionale: basta sostituire alla successione reale \((a_n)\) la successione di funzioni \((f_n(x))\).
L'argomento è stato discusso più volte nel caso delle serie numeriche: in particolare qui (nelle prime tre pagine, specialmente).
Ovviamente la definizione si riporta pari-pari dal caso numerico a quello funzionale: basta sostituire alla successione reale \((a_n)\) la successione di funzioni \((f_n(x))\).
Quello che ho scritto è corretto?
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