Domanda su operatore inverso

[antani2]

Salve, avevo questo buco concettuale, è vero, e se sì come mai gli operatori su L2 per avere inverso devono esser biiettivi e non solo iniettivi come le funzioni ad esempio?

[gugo82]

Perchè in generale sai invertire una funzione non biiettiva?

[dissonance]

Comunque parlando di operatori non limitati non è vero. Un operatore non limitato può avere inverso essendo solo ingettivo. La questione è piuttosto sottile e ti conviene studiarla su un buon libro di analisi funzionale: il super-classico su questo argomento è il Reed & Simon Methods of Modern Mathematical Physics vol I, capitolo "Unbounded operators".

Se ne parla, anche se un po' di sfuggita devo dire, anche sul libro di Teschl, paragrafo 2.2 "Self-adjoint operators".

[antani2]

"gugo82":Perchè in generale sai invertire una funzione non biiettiva?

Certo, ad esempio la funzione da R a R y=e^x...

Grazie dissonans, vedrò se riesco a trovarlo quel libro, intitolandosi "metodi matematici per la fisica" dovrebbe esser alla mia portata senza richiesta di prerequisiti che magari non ho...

[dissonance]

"antani":Certo, ad esempio la funzione da R a R y=e^x...

Quello che Gugo fa notare è che l' "inversa" a cui stai pensando tu non lo è in senso stretto: l'inversa di una funzione $X \to Y$ è per definizione una funzione $Y \to X$. Allora l'inversa della funzione $RR \to RR,\ x \mapsto e^x$ non è una vera inversa perché non è definita su tutto $RR$. Se però restringiamo il codominio, allora lo diventa.

Stesso discorso con gli operatori: se un operatore $A$ è definito in un sottospazio $D(A)$ di uno spazio di Hilbert $H$ ed è ingettivo, allora è definito un operatore $A^{-1}$ sul sottospazio $R(A)$ di $H$, e $R(A)$ può benissimo non coincidere con tutto $H$.

[antani2]

Ah sì sì vabeh quello sì...però ad esempio alal fine lo sottointendi che l'inversa dell'esponenziale è un logaritmo, anche se appunto non restringi il codomiGNo...Con gli operatori invece non mi pare che questo si faccia o sbaglio?

[dissonance]

Non è che sbagli, ma stai trascurando alcuni fatti teorici che sono proprio roba da matematici - me ne rendo conto - ma sono importanti. La definizione formale di operatore non limitato in uno spazio di Hilbert $H$ è:

l'insieme di:
[*:3s86ipk9]un sottospazio $D(A)$ di $H$ detto dominio;[/*:m:3s86ipk9]
[*:3s86ipk9]una applicazione lineare $A: D(A)\to H$. [/*:m:3s86ipk9][/list:u:3s86ipk9]
Con abuso di notazione si dice che $A$ è un operatore in $H$; la notazione corretta, ma intollerabilmente pesante, sarebbe $(D(A), A)$.

Insomma, il dominio è un dato essenziale per un operatore. Se cambi il dominio, lasciando però solo l'espressione formale, potenzialmente l'operatore cambia totalmente. Un esempio classico è l'operatore

$D(A)=H^1(0, 2\pi), Af=-i f'$

($H^1(0, 2\pi)$ sono le funzioni di quadrato sommabile con la derivata debole di quadrato sommabile)

che è autoaggiunto e ha una base di autovettori; se cambi il dominio, lasciando però l'espressione formale dell'operatore, per esempio

$D(B)={f \in H^1(0, 2\pi) | f(0)=f(2\pi)=0 }, Bf=-i f'$

va tutto all'aria: questo non è nemmeno autoaggiunto - vedi facilmente che $i$ è un valore spettrale.

Per dirla con le parole di Reed & Simon,


It may seem to the reader that many of the questions about domains and closures of unbounded operators are just a technical inconvenience; that one need only choose any dense domain [...]. However, the choice of an appropriate domain is often intimately connected with the physics of the situation being described; [...]



Morale della favola: quando prendi un operatore $A$ in $H$, di dominio $D(A)$, se questo è ingettivo è definito un operatore inverso mediante le

[*:3s86ipk9]$D(A^{-1})=R(A);$[/*:m:3s86ipk9]
[*:3s86ipk9]$\forall g \in R(A), g=Af : A^{-1}g=f.$[/*:m:3s86ipk9][/list:u:3s86ipk9]
quindi $A^{-1}$ è, si, un operatore in $H$, ma il dominio di $A^{-1}$ è $R(A)$ e può benissimo non essere tutto $H$.