Domanda su massimi e minimi

[fool1]

Ciao a tutti, avrei una semplice domanda:
Se ho una funazione a due variabli e un dato punto in cui il gradiente è nullo,
se riesco a determinare un intorno di tale punto in cui la funzione non cambia segno
posso concludere che tale punto è di massimo (nel caso in cui il segno dell'intorno sia $+$) o
di minimo (nel caso in cui il segno dell'intorno sia $-$)??? O devo per forza ricorrere all'hessiano?

[andra_zx]

certo che puoi farlo, infatti quando il determinante dell' Hessiano è nullo, devi procedere per via "diretta" come hai detto tu..

[fool1]

Ok, grazie,
mi puoi confermare quindi che se in tutto un intorno di tale punto la funzione assume segno positivo allora si tratta
di un massimo e se invece la funzione assume segno negativo in tale intorno è un minimo? Non può in nessun caso
succedere il viceversa giusto?

[fool1]

Qualcuno potrebbe confermarmi non ho scritto stupidaggini nel post precedente? Grazie

[Rigel1]

Se $f(x_0,y_0) = 0$ ed esiste un intorno $A$ di $(x_0, y_0)$ t.c. $f(x,y) \ge 0$ per ogni $(x,y)\in A$, allora per definizione il punto $(x_0, y_0)$ è di minimo relativo, indipendentemente da hessiani, gradienti e quant'altro (la funzione potrebbe anche non essere continua nel punto e nulla cambierebbe).

[fool1]

Grazie Rigel. Comunque $f(x_0,y_0)=0$ è un punto in cui è la funzione che si annulla, quindi non c'è correlazione
con quello che dicevo io cioè dove si annulla semplicemente il gradiente...?

[Rigel1]

Tu parlavi di un intorno in cui la funzione non cambia segno; ho implicitamente assunto che tu stessi pensando ad un punto dove la funzione si annulla (altrimenti a che ti serve sapere che non cambia segno?).
Ad esempio, la funzione $f(x,y) = 1+x^2-y^2$ ha gradiente nullo in $(0,0)$, è positiva in un intorno di $(0,0)$ ma l'origine è un punto di sella.

[fool1]

Ok grazie dell'aiuto